משפט החיתוך של קנטור – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ניסוח והוכחה של כיוון אחד לבינתיים. מישהו מסוגל למצוא את הערך המקביל בויקי האנגלית? |
הוכחה (מסורבלת למדי) של הכיוון השני |
||
שורה 1:
ב[[טופולוגיה]], '''משפט החיתוך של קנטור''' (הקרוי על שמו של [[גאורג קנטור]]) הוא תנאי הכרחי ומספיק ל[[מרחב מטרי שלם|שלמות]] של מרחב מטרי - כל סדרה יורדת של [[קבוצה סגורה|קבוצות סגורות]] במרחב מטרי, כך ש[[קוטר]] הקבוצות שואף לאפס, היא בעלת [[חיתוך]] לא ריק [[אם ורק אם]] המרחב שלם. משפט זה מהווה הכללה של [[הלמה של קנטור]] מ[[חשבון אינפיניטסימלי]].
==ניסוח פורמלי==
שורה 17:
נראה כעת כי בחיתוך יש בדיוק איבר יחיד: נניח כי <math>\!\,x,y\isin\bigcap_n A_n</math>,אז לכל <math>\!\,k</math> מתקיים <math>\!\,x,y\isin A_k</math>. יהא <math>\!\,\epsilon>0</math> כלשהו, אז קיים <math>\!\,N</math> כלשהו כך ש<math>\!\,diamA_N<\epsilon</math>, ומכיוון ש<math>\!\,x,y\isin A_N</math>, ולכן <math>\!\,d(x,y)\le diamA_N<\epsilon</math>. כלומר <math>\!\,d(x,y)<\epsilon</math> לכל <math>\!\,\epsilon>0</math> ולכן בהכרח <math>\!\,d(x,y)=0</math> ומכאן, על פי תכונות ה[[מטריקה]], <math>\!\,x=y</math>.
===כיוון שני===
נניח כי <math>\!\,X</math> הוא מרחב המקיים את התכונה שלכל סדרת קבוצות שעונה על הקריטריונים שלעיל יש חיתוך לא ריק, ונוכיח כי המרחב שלם. תהא <math>\!\,\left\{x_n\right\}</math> סדרת קושי במרחב, ונוכיח שהיא מתכנסת.
לכל איבר <math>\!\,x_n</math> בסדרה נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\!\,A_n=Cl\left(\left\{x_m|m\ge n\right\}\right)</math> - [[סגור (טופולוגיה)|הסגור]] של הזנב של סדרת הקושי שמתחיל באיבר <math>\!\,x_n</math>. זוהי קבוצה סגורה (שכן סגור הוא תמיד קבוצה סגורה), ובבירור מתקיים <math>\!\, A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\dots</math> וזאת על פי דרך הגדרת הקבוצות.
אנו רוצים להוכיח כי <math>\!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0</math>. לשם כך נוכיח קודם כל כי לכל קבוצה <math>\!\,A</math> מתקיים <math>\!\,diam A=diam Cl(A)</math>. ברור כי <math>\!\,diam A\le diam Cl(A)</math> (כי <math>\!\,Cl(A)</math> מכילה את <math>\!\,A</math>).
יהיו <math>\!\,a,b\isin Cl(A)</math>, אז קיימות סדרות <math>\!\,\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}</math> שכל אבריהן שייכים לקבוצה <math>\!\,A</math> כך ש<math>\!\,a_n\rarr a, b_n\rarr b</math> זאת מהגדרת הסגור (נשים לב שהסדרות יכולות להיות קבועות). מכיוון שאברי הסדרות שייכים כולם ל<math>\!\,A</math>, מתקיים <math>\!\,d(a_n,b_n)\le diamA</math> לכל <math>\!\,n</math>. לכן נקבל <math>\!\,d(a,b)\le diamA</math>, וזאת לכל <math>\!\,a,b\isin Cl(A)</math>, כלומר <math>\!\,diamCl(A)\le diamA</math>, וקיבלנו משני אי השוויונות את השוויון <math>\!\,diam A=diam Cl(A)</math> המבוקש.
כעת, מכיוון ש<math>\!\,x_n</math> סדרת קושי, הרי שלכל <math>\!\,\epsilon>0</math> קיים <math>\!\,N</math> כך שלכל <math>\!\,m\ge N</math> מתקיים <math>\!\,d(x_N,x_m)<\epsilon</math>. לכן <math>\!\,diam \left\{x_k|k\ge N\right\}<\epsilon</math>, ולכן <math>\!\,diam A_n=diam Cl\left(\left\{x_k|k\ge N\right\}\right)<\epsilon</math>, וקיבלנו <math>\!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0</math>.
כעת הראינו כי הסדרה <math>\!\,A_n</math> מקיימת את כל התכונות הדרושות, ולכן <math>\!\,\bigcap_n A_n\ne\emptyset</math>. יהא <math>\!\,x\isin\bigcap_n A_n</math>, אז לכל <math>\!\,n</math> מתקיים <math>\!\,x\isin A_n</math>, ולכן <math>\!\,d(x,x_n)\le diam A_n\rarr 0</math>, כלומר <math>\!\,x_n\rarr x</math>, והראינו שסדרת קושי שלנו מתכנסת.
[[category:טופולוגיה]]
| |||