אלגברת האוקטוניונים של קיילי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ עריכה |
מ בוט החלפות: הווקטור; |
||
שורה 67:
החלק הממשי של <math>x</math> מחושב על ידי <math>\frac{x+\bar{x}}{2}=x_{0}</math>, והחלק המדומה (השבעה-ממדי) - על ידי <math>\frac{x-\bar{x}}{2}</math>.
ה[[נורמה (אלגברה)|נורמה]] באלגברת האוקטוניונים מוגדרת לפי <math>\left\| x \right\|=\bar{x}x</math>, וזהו תמיד מספר ממשי לא-שלילי: <math>\left\| x \right\|^{2}=\bar{x}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}</math>. (לפעמים מעוניינים בשורש של הנורמה האלגברית, שהוא האורך של
למרות שהאלגברה אינה אסוציאטיבית, הנורמה היא פונקציה כפלית, וכך נעשית אלגברת האוקטוניונים [[אלגברת הרכב]]. עובדה זו אחראית במידה רבה לנוסחת הכפל הפולינומית עבור סכומים של שמונה ריבועים (ראו [[משפט הורוויץ]] על [[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]]; נוסחת כפל רציונלית נובעת מכך שסכום הריבועים הוא [[תבנית פיסטר]]). הנורמה גם מאפשרת לחשב את ההפכי לכל איבר: ההופכי של <math>x\ne 0</math> נתון על ידי: <math>x^{-1}=\frac{{\bar{x}}}{\left\| x \right\|^{2}}</math>.
| |||