40,424
עריכות
הבדלים בין גרסאות בדף "הומומורפיזם"
שכתוב
(שכתוב) |
|||
|
ב[[אלגברה]], '''הומומורפיזם''' הוא [[פונקציה]] בין [[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]] מאותו טיפוס, המשמר את כל המבנה (לרבות הפעולות, היחסים והקבועים). הומומורפיזם [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכי]] ו[[פונקציה על|על]] נקרא '''איזומורפיזם'''.
* הומומורפיזם [[חד-חד ערכית|חד-חד ערכי]] נקרא '''שיכון''' או '''מונומורפיזם'''.▼
* הומומורפיזם [[התאמה על|על]] נקרא '''אפימורפיזם'''.▼
* הומומורפיזם חד-חד ערכי ועל נקרא '''איזומורפיזם'''.▼
* הומומורפיזם מהמבנה אל עצמו נקרא '''אנדומורפיזם'''. (אנדו = פנימי)▼
* איזומורפיזם מהמבנה על עצמו נקרא '''אוטומורפיזם'''. (אוטו = עצמי)▼
מבנים שיש ביניהם איזומורפיזם נקראים '''איזומורפיים'''. האיזומורפיזם מתרגם במקרה כזה כל תכונה של המבנה הראשון אל המבנה השני, באופן שלא ניתן להבחין ביניהם בשפה של התורה שאליה הם שייכים.
== דוגמאות ==
==הומומורפיזם בין חבורות==▼
* '''הומומורפיזם בין חבורות''' הוא פונקציה <math> \varphi G \rightarrow H</math> שעבורה <math>\,\! \varphi (g_1\cdot g_2)=\varphi (g_1)\cdot \varphi (g_2)</math> לכל <math>\ g_1,g_2 \in G</math>. הכפל באגף שמאל הוא פעולת החבורה של <math>\ G</math>, ואילו הכפל באגף ימין הוא פעולת החבורה של <math>\ H</math>. מתכונה זו נובע גם שאיבר היחידה של G עובר לאיבר היחידה של H, ולכן אין צורך לדרוש תכונה זו במפורש.
* '''הומומורפיזם בין מרחבים ליניאריים''' נקרא [[העתקה לינארית]]. זוהי פונקציה מן הוקטורים של מרחב V מעל שדה F, אל הוקטורים של מרחב W מעל אותו שדה, המקיימת שתי אקסיומות: <math>\ \varphi(v_1+v_2) = \varphi(v_1)+\varphi(v_2)</math> (לכל שני וקטורים <math>\ v_1,v_2\in V</math>) ו-<math>\ \varphi(\alpha \cdot v) = \alpha \cdot \varphi(v)</math> (לכל וקטור <math>\ v\in V</math> וסקלר <math>\ \alpha \in F</math>. אותן דרישות, בהחלפת השדה F ב[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] כלשהו R, מגדירות הומומורפיזם בין [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]]. גם כאן, אין צורך לדרוש במפורש שהפונקציה מעבירה את איבר האפס של המרחב הראשון אל מרחב האפס של השני, משום שזה נובע מן הדרישות האחרות.
== הגרעין והתמונה ==
נניח ש-<math>\ \varphi : A \rightarrow B</math> הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים. ה[[תמונה (אלגברה)|תמונה]] היא אוסף האברים <math>\ \operatorname{Im}(\varphi)</math> של B המתקבלים מהפעלת ההומומורפיזם על אברי A. אם יש למבנה איבר נייטרלי מובחן (איבר היחידה של חבורה, האפס של חוג, מרחב וקטורי, או מודול), אוסף הוקטורים <math>\ \operatorname{Ker}(\varphi)</math> של A העוברים אל האיבר הנייטרלי נקרא ה'''[[גרעין (אלגברה)|גרעין]]''' של ההומומורפיזם. לתמונה ולגרעין יש הגדרות כלליות יותר, בשפה של [[תורת הקטגוריות]].
בחבורות, לדוגמא, התמונה היא [[תת-חבורה]] של B, ואילו הגרעין הוא [[תת-חבורה נורמלית]] של B.
קיומו של הגרעין מאפשר לבנות אובייקט מנה ([[חבורת מנה]], [[חוג מנה]], [[מודול מנה]]), ואז מתקיים [[משפט האיזומורפיזם הראשון]]: <math>\ A/\operatorname{Ker}(\varphi) \cong \operatorname{Im}(\varphi)</math>.
בגלל חשיבותם של הומומורפיזם באלגברה, אלו שיש להם תכונות נוספות זכו לשמות מיוחדים.
▲* הומומורפיזם [[חד-חד ערכית|חד-חד ערכי]] נקרא '''שיכון''' או '''מונומורפיזם'''.
▲* הומומורפיזם [[התאמה על|על]] נקרא '''אפימורפיזם'''.
▲* הומומורפיזם חד-חד ערכי ועל נקרא '''איזומורפיזם'''.
▲* הומומורפיזם מהמבנה אל עצמו נקרא '''אנדומורפיזם'''. (אנדו = פנימי)
▲* איזומורפיזם מהמבנה על עצמו נקרא '''אוטומורפיזם'''. (אוטו = עצמי)
▲כאשר R ו- S [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] (עם יחידה), הומומורפיזם הוא פונקציה <math>\ f:R\rightarrow S</math> השומרת על החיבור והכפל (כלומר, מקיימת <math>\ f(a+b)=f(a)+f(b)</math> ו- <math>\ f(ab)=f(a)f(b)</math> לכל a ו-b), ומעבירה את איבר היחידה (של R) לאיבר היחידה (של S). תכונה אחרונה זו אינה נדרשת מהומומורפיזם של חוגים בלי יחידה, וקיימים הומומורפיזמים כאלה (שאינם שומרים על איבר היחידה) גם בין חוגים עם יחידה. אם ל- R ו- S יש איבר יחידה, ו- S הוא [[תחום שלמות]], או ש- f היא על, אז כל פונקציה השומרת על החיבור והכפל, מעבירה את איבר היחידה לאיבר היחידה.
{{אלגברה מופשטת}}
| |||