הבדלים בין גרסאות בדף "הומומורפיזם"

הוסרו 286 בתים ,  לפני 10 שנים
שכתוב
(שכתוב)
ב[[אלגברה]], '''הומומורפיזם''' הוא [[פונקציה]] בין [[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]] מאותו טיפוס, המשמר את כל המבנה (לרבות הפעולות, היחסים והקבועים). הומומורפיזם [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכי]] ו[[פונקציה על|על]] נקרא '''איזומורפיזם'''.
 
* הומומורפיזם [[חד-חד ערכית|חד-חד ערכי]] נקרא '''שיכון''' או '''מונומורפיזם'''.
* הומומורפיזם [[התאמה על|על]] נקרא '''אפימורפיזם'''.
* הומומורפיזם חד-חד ערכי ועל נקרא '''איזומורפיזם'''.
* הומומורפיזם מהמבנה אל עצמו נקרא '''אנדומורפיזם'''. (אנדו = פנימי)
* איזומורפיזם מהמבנה על עצמו נקרא '''אוטומורפיזם'''. (אוטו = עצמי)
 
מבנים שיש ביניהם איזומורפיזם נקראים '''איזומורפיים'''. האיזומורפיזם מתרגם במקרה כזה כל תכונה של המבנה הראשון אל המבנה השני, באופן שלא ניתן להבחין ביניהם בשפה של התורה שאליה הם שייכים.
 
== דוגמאות ==
==הומומורפיזם בין חבורות==
* '''הומומורפיזם בין חבורות''' הוא פונקציה <math> \varphi G \rightarrow H</math> שעבורה <math>\,\! \varphi (g_1\cdot g_2)=\varphi (g_1)\cdot \varphi (g_2)</math> לכל <math>\ g_1,g_2 \in G</math>. הכפל באגף שמאל הוא פעולת החבורה של <math>\ G</math>, ואילו הכפל באגף ימין הוא פעולת החבורה של <math>\ H</math>. מתכונה זו נובע גם שאיבר היחידה של G עובר לאיבר היחידה של H, ולכן אין צורך לדרוש תכונה זו במפורש.
===הגדרה פורמלית===
* '''הומומורפיזם בין מרחבים ליניאריים''' נקרא [[העתקה לינארית]]. זוהי פונקציה מן הוקטורים של מרחב V מעל שדה F, אל הוקטורים של מרחב W מעל אותו שדה, המקיימת שתי אקסיומות: <math>\ \varphi(v_1+v_2) = \varphi(v_1)+\varphi(v_2)</math> (לכל שני וקטורים <math>\ v_1,v_2\in V</math>) ו-<math>\ \varphi(\alpha \cdot v) = \alpha \cdot \varphi(v)</math> (לכל וקטור <math>\ v\in V</math> וסקלר <math>\ \alpha \in F</math>. אותן דרישות, בהחלפת השדה F ב[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] כלשהו R, מגדירות הומומורפיזם בין [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]]. גם כאן, אין צורך לדרוש במפורש שהפונקציה מעבירה את איבר האפס של המרחב הראשון אל מרחב האפס של השני, משום שזה נובע מן הדרישות האחרות.
יהיו <math>\,\! G, G'</math> שתי חבורות. פונקציה <math>\,\! \varphi :G\rarr G'</math> תיקרא '''הומומורפיזם''' אם לכל <math>\,\! g_1,g_2\isin G</math> מתקיים <math>\,\! \varphi (g_1\cdot g_2)=\varphi (g_1)\cdot \varphi (g_2)</math>. נשים לב כי הכפל באגף שמאל של המשוואה הוא בחבורה <math>\,\! G</math> ואילו הכפל בצד ימין של המשוואה הוא בחבורה <math>\,\! G'</math>.
כאשר# R'''הומומורפיזם ו-בין S [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] (עם יחידה), הומומורפיזם''' הוא פונקציה <math>\ f\varphi : R \rightarrow S</math> השומרת על החיבור והכפל (כלומר, מקיימת כאשר <math>\ f(a+b)=f(a)+f(b)R, S</math> ו-הם <math>\[[חוג f(abמבנה אלגברי)=f(a|חוגים]] עם יחידה)f(b)</math>, לכלהשומרת aעל ו-b)החיבור והכפל, ומעבירה את איבר היחידה (של R) לאיבר היחידה (של S). תכונה אחרונה זו אינה נדרשת מהומומורפיזם של חוגים בלי יחידה, וקיימים הומומורפיזמים כאלה (שאינם שומרים על איבר היחידה) גם בין חוגים עם יחידה. אם ל- R ו- S יש איבר יחידה, ו- S הוא [[תחום שלמות]], או ש- f היא על, אז כל פונקציה השומרת על החיבור והכפל, מעבירה את איבר היחידה לאיבר היחידה.
 
== הגרעין והתמונה ==
 
נניח ש-<math>\ \varphi : A \rightarrow B</math> הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים. ה[[תמונה (אלגברה)|תמונה]] היא אוסף האברים <math>\ \operatorname{Im}(\varphi)</math> של B המתקבלים מהפעלת ההומומורפיזם על אברי A. אם יש למבנה איבר נייטרלי מובחן (איבר היחידה של חבורה, האפס של חוג, מרחב וקטורי, או מודול), אוסף הוקטורים <math>\ \operatorname{Ker}(\varphi)</math> של A העוברים אל האיבר הנייטרלי נקרא ה'''[[גרעין (אלגברה)|גרעין]]''' של ההומומורפיזם. לתמונה ולגרעין יש הגדרות כלליות יותר, בשפה של [[תורת הקטגוריות]].
לאיזומורפיזמים חשיבות רבה. אם יש איזומורפיזם בין שתי חבורות, פירוש הדבר הוא שהן זהות לחלוטין, עד כדי החלפת שמות האיברים בחבורה, בכל האספקטים הנוגעים למבנה החבורה.
 
בחבורות, לדוגמא, התמונה היא [[תת-חבורה]] של B, ואילו הגרעין הוא [[תת-חבורה נורמלית]] של B.
===תמונה וגרעין===
בהינתן הומומורפיזם, ה[[תמונה (אלגברה)|תמונה]] שלו תוגדר בתור הקבוצה שמתקבלת מהפעלת ההומומורפיזם על כל אברי התחום.
 
קיומו של הגרעין מאפשר לבנות אובייקט מנה ([[חבורת מנה]], [[חוג מנה]], [[מודול מנה]]), ואז מתקיים [[משפט האיזומורפיזם הראשון]]: <math>\ A/\operatorname{Ker}(\varphi) \cong \operatorname{Im}(\varphi)</math>.
בצורה פורמלית: <math>\,\! \mbox{Im}(\varphi)=\left\{\varphi (g)|g\isin G\right\} </math>. נשים לב כי <math>\,\! \mbox{Im}(\varphi) \subseteq G' </math>.
כאשר <math>\,\! \mbox{Im}(\varphi)= G' </math> ההומומורפיזם הוא על. (כל הומומורפיזם הוא "על" לתמונתו).
 
== הומומורפיזם ביןמיוחדים חבורות==
בהינתן הומומורפיזם, ה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] שלו יוגדר בתור הקבוצה של כל האיברים בתחום שלו שעוברים ל[[איבר יחידה|איבר היחידה]] של חבורת הטווח.
 
בגלל חשיבותם של הומומורפיזם באלגברה, אלו שיש להם תכונות נוספות זכו לשמות מיוחדים.
בצורה פורמלית: <math>\,\! \mbox{Ker} (\varphi) =\left\{g\isin G|\varphi (g)=e'\right\} </math>. נשים לב כי <math>\,\! \mbox{Ker}(\varphi) \subseteq G </math>.
* הומומורפיזם [[חד-חד ערכית|חד-חד ערכי]] נקרא '''שיכון''' או '''מונומורפיזם'''.
 
* הומומורפיזם [[התאמה על|על]] נקרא '''אפימורפיזם'''.
הגרעין "מודד" את מידת החד-חד ערכיות של הומומורפיזם. הומומורפיזם שהאיבר היחיד בגרעין שלו הוא איבר היחידה הוא חד-חד ערכי.
* הומומורפיזם חד-חד ערכי ועל נקרא '''איזומורפיזם'''.
 
* הומומורפיזם מהמבנה אל עצמו נקרא '''אנדומורפיזם'''. (אנדו = פנימי)
===משפטים העוסקים בהומומורפיזמים===
* איזומורפיזם מהמבנה על עצמו נקרא '''אוטומורפיזם'''. (אוטו = עצמי)
[[משפטי האיזומורפיזם (אלגברה)|משפטי האיזומורפיזם]] מראים את קיומם של איזומורפיזמים בין מקרים מיוחדים של מבנים אלגבריים.
 
== הומומורפיזם בין מרחבים לינאריים ==
[[טרנספורמציה לינארית]] בין שני [[מרחב וקטורי|מרחבים לינאריים]] היא הומומורפיזם שכן היא שומרת על תכונת הלינאריות. אם הטרנספורמציה הלינארית היא חח"ע ועל אזי היא נקראת '''איזומורפיזם''' בין שני המרחבים. כלומר, שני המרחבים זהים עד כדי שינוי שם האיברים (או שינוי שמות איברי ה[[בסיס (אלגברה)|בסיס]]).
 
עבור מרחבים נוצרים סופית, קיימת התוצאה החשובה הבאה:
: '''משפט:''' יהי V [[מרחב וקטורי]] נוצר סופית מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] n מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F. אזי V איזומורפי למרחב F<sup>n</sup> (מרחב [[קואורדינטות (אלגברה)|וקטורי העמודה]] בגודל n שרכיביהם הם איברי השדה F).
 
==הומומורפיזם בין חוגים==
כאשר R ו- S [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] (עם יחידה), הומומורפיזם הוא פונקציה <math>\ f:R\rightarrow S</math> השומרת על החיבור והכפל (כלומר, מקיימת <math>\ f(a+b)=f(a)+f(b)</math> ו- <math>\ f(ab)=f(a)f(b)</math> לכל a ו-b), ומעבירה את איבר היחידה (של R) לאיבר היחידה (של S). תכונה אחרונה זו אינה נדרשת מהומומורפיזם של חוגים בלי יחידה, וקיימים הומומורפיזמים כאלה (שאינם שומרים על איבר היחידה) גם בין חוגים עם יחידה. אם ל- R ו- S יש איבר יחידה, ו- S הוא [[תחום שלמות]], או ש- f היא על, אז כל פונקציה השומרת על החיבור והכפל, מעבירה את איבר היחידה לאיבר היחידה.
 
{{אלגברה מופשטת}}