מספר לבג – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ChuispastonBot (שיחה | תרומות) מ r2.7.1) (בוט מוסיף: de:Lebesguezahl, ru:Лемма Лебега |
הוכחה? |
||
שורה 1:
ב[[טופולוגיה]], '''מספר
'''הלמה של לבג''', שקרויה על שם ה[[מתמטיקה|מתמטיקאי]] [[אנרי לבג]], אומרת שבהינתן כיסוי פתוח לקבוצה קומפקטית במרחב מטרי, קיים מספר חיובי δ כך שכל קבוצה ש[[קוטר|קוטרה]] קטן מ־δ [[הכלה (תורת הקבוצות)|מוכלת]] לגמרי באחת הקבוצות שמהוות את הכיסוי.
==הוכחה==
תהא '''X''' קבוצה קומפקטית במרחב מטרי, ויהא <math>\mathcal A</math> כיסוי פתוח של '''X'''.
מהקומפקטיות נובע שקיים תת-כיסוי סופי. נסמן אותו <math>\{A_1, \dots, A_n\} \subseteq \mathcal A</math>
לכל <math>i \in \{1, \dots, n\}</math>, נגדיר <math>C_i := X \setminus A_i</math>,
וכן נגדיר פונקציה <math>f : X \rightarrow \mathbb R</math> כך:
<math>f(x) := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n d(x,C_i)</math>
כיוון ש <math>\mathcal A</math> הוא כיסוי, לכל נקודה <math>x \in X</math> יש אינדקס '''i''' כך ש <math>x \in A_i</math>.
כיוון ש<math>A_i</math> קבוצה פתוחה, הרי שקיים ε > 0 כך שה־[[סביבה (מתמטיקה)|ε-סביבה]] של <math>x</math> מוכלת ב <math>A_i</math>.
מכאן, <math>d(x,C_i) \ge \epsilon</math>, ולכן <math>f(x) \ge \frac{\epsilon}{n}</math>, כלומר הפונקציה חיובית עבור כל <math>x \in X</math>.
אבל <math>f(x) \ </math> [[רציפות (טופולוגיה)|רציפה]] על קבוצה קומפקטית, ולכן מקבלת את [[חסם (מתמטיקה)|המינימום]] שלה על קבוצה זו. מינימום זה הוא מספר לבג של הכיסוי.
| |||