אקספוננט – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 47:
:<math>\ e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}</math> כאשר <math> z \in \mathbb{C}</math>, מספר מרוכב כלשהו.
נשים לב, שהסימון e בחזקת z הוא סימון פורמלי בלבד, כיוון שהגדרת האקספוננט קודמת להגדרת חזקות כלליות במספרים המרוכבים. טור זה מתכנס עבור כל מספר מרוכב והוא מגדיר את <math>\ e^z</math> כפונקציה מרוכבת, שהיא [[פונקציה אנליטית]]. ניתן להראות (ונוכיח זאת בהמשך) שמתקיים:
:<math>\ e^{x+iy} = e^x \cdot (\cos y + i \
===תכונות===
האקספוננט המרוכב "יורש" את כל התכונות של האקספוננט הממשי, שנבעו מתוך ההגדרה שלו כטור חזקות.
שורה 54:
:<math>\ e^0 =1</math>
האקספוננט המרוכב מתלכד עם האקספוננט הממשי עבור כל מספר ממשי. <br>
על ידי השוואה בין [[טור טיילור|טורי טיילור]] של [[פונקציות טריגונומטריות|הפונקציות הטריגונומטריות]], לבין תוצאת הטור של <math>\ e^z</math> כאשר מציבים <math>\ z=iy</math> מתקבלת התוצאה <math>\ e^{iy}= \cos(y)+i\cdot \sin(y) </math>. נוסחה זו מכונה [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]], ובפרט מתקבלת [[זהות אוילר]]: <math>\ e^{\pi i}+1=0</math>.
אם נכפיל את הזהות הזו ב- <math>\ e^x</math> נקבל את הנוסחה הכללית:
:<math>\ e^ {x+iy} = e^x \cdot ( \cos y + i \sin y )</math>, עבור <math>x , y \in \mathbb{R}</math> .
מהנוסחה האחרונה נובע שהאקספוננט המרוכב הוא '''לא''' חד חד ערכי, כי לדוגמה, <math>\ e^{2 \pi i} = 1 = e^0</math>. לעומת זאת הוא מחזיר כל מספר מרוכב חוץ מאפס.
שורה 65:
:<math>\ \sin(y)=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}</math>
זהויות אלו יכולות לשמש כהגדרה של הפונקציות הטריגונומטריות עבור כל y מרוכב. ההגדרה הזו נוחה במיוחד, כי היא מאפשרת לגזור את התכונות של הפונקציות הטריגונומטריות ישירות מתכונות האקספוננט המרוכב. כך למשל הפונקציות הטריגונומטריות המרוכבות נשארות מחזוריות גם במישור המרוכב ומקיימות לכל z:
:<math>\ \cos (z+2\pi ) = \cos (z)</math>
:<math>\ \sin (z+2\pi ) = \sin (z)</math>
ולכל מספר אחר אם <math>\ \cos(z+w)=\cos(z)</math> לכל z אז בהכרח <math>\ k \in \mathbb{Z}\ \ \ w = 2k \pi </math>, וכך גם לגבי הסינוס.
===החזקה המרוכבת===
את החזקה המרוכבת נוח להגדיר באמצעות האקספוננט המרוכב והלוגריתם הטבעי המתאים לו:
| |||