משפט ארו – הבדלי גרסאות

נוסף בית אחד ,  לפני 11 שנים
מ
אין תקציר עריכה
נניח שישנם לפחות שלושה מועמדים. כל פונקציה המתאימה יחס על תת-קבוצה של אפשרויות לכל וקטור של יחסי העדפות שמקיימת את הדרישות הבאות היא דיקטטורה.
* פה אחד: אם כולם מעדיפים את A במקום ראשון אז A נבחר במקום ראשון(חזק)
* מונוטוניות: אם A נבחר ביחס ההעדפות p ויש יחס ההעדפות שני q שבו מצבו של A אינו נגרע אז מצבו לא נגרע בדירוג של הפונקציה. כלומר אם מתקיים שלכל שחקן ולכל אפשרות B אם שחקן העדיף את A על B בpב-p אז גם בqב-q, גורר שמצבו לא נגרע בדירוג של הפונקציה.
'''הוכחה'''
עבור <math>\ K = 1</math> זהו [[משפט גיבארד-סתרסוויט]], ואם K הוא מספר המועמדים זהו משפט ארווארו.
 
נוכיח תחילה את המשפט באינדוקציה על K כאשר הטווח של הפונקציה הוא קבוצת יחסי העדפות חזקים על קבוצות בנות K אפשרויות. בסיס האינדוקציה <math>\ K = 1</math> כבר נתון.
הפונקציה g גם מקיימת את הדרישות מכיוון ש f מקיימת אותם ולכן g דיקטטורה .
אז f היא דיקטטורה בKב-K האיברים הראשונים של שחקן i נניח בשלילה ש i לא דיקטטור באיבר האחרון
כלומר יש יחס ההעדפות p שבו i מעדיף את A במקום ה <math>\ K + 1</math> אבל B נבחר במקום הזה. כיוון ש i דיקטטור של K
האיברים הראשונים i מעדיף את A על B אחרת B נבחר במקום יותר טוב מ <math>\ K + 1</math>, ובנוסף A לא נבחר.
נגדיר יחס ההעדפות קבוע W על קבוצת המועמדים ונגדיר g שמחזירה יחס ההעדפות כמו f אבל מפרידה בין איברים שווים על ידי W
אז g מקיימת את הדרישות, כי f מקיימת את הדרישות, והיא מחזירה דירוג חזק ולכן היא דיקטטורה של שחקן i
ולכן f היא דיקטטורה של שחקן i (שומרת על הסדר של יחס ההעדפות של שחקן i) אבל אולי מאפשרת לחברה להיות אדישה בין אפשרויות שלו.
נניח בשלילה שיש יחס ההעדפות p בו i מעדיף את A על B ושתיהם במקומות ה K ראשונים אבל החברה אדישה בין A ל B .
אבל אם נחליף חזרה אז שוב <math>\ A = B</math> כי חזרנו למצב הקודם בסתירה למונוטוניות כי מצב A לא נגרע אצל אף בוחר
אבל מצבו נגרע בדירוג של הפונקציה. ולכן גם g דיקטטורה.
 
 
==משמעויות נוספות==