הבדלים בין גרסאות בדף "חילוק באפס"

נוספו 975 בתים ,  לפני 9 שנים
אין תקציר עריכה
מ (הוספת רווח)
'''חלוקה באפס''' היא ה[[פעולה בינארית|פעולה]] ה[[מתמטיקה|מתמטית]] של [[חילוק|חלוקת]] [[מספר]] במספר [[0 (מספר)|0]], ותוצאתה לרוב אינה מוגדרת. את הפעולה ניתן לרשום בצורה <math>\textstyle\frac{a}{0}</math>.
 
ברוב תחומי המתמטיקה חילוק מוגדר כ[[כפל]] ב[[מספר הופכי]] (ההופכי למספר a הוא מספר b כך שמכפלתם ab היא 1). מכיוון שלאפס לא קיים הופכי, בהגדרה, לא ניתן לחלק באפס. באופן כללי בכל [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] אין ל[[איבר האפס]] [[איבר הופכי]] ביחס לכפל, ולכן חילוק באיבר זה אינו מוגדר והוא חסר משמעות.
 
ניתן להוכיח את אי-ההפיכות של איבר האפסאפס ישירות מהגדרתומהיותו כ[[איבר היחידה]] החיבורי: בזכות ה[[דיסטריבוטיביות]] של כפל מעל חיבור, לכל <math>\ a</math> מתקיים <math> a\cdot0=a\cdot(0+0)=a\cdot0+a\cdot0</math> ולכן לפי [[כלל הצמצום]] החיבורי (הנובע מכך שלכל איבר יש הופכי חיבורי) <math>\ a\cdot0=0</math>. מכאן שלא קיים איבר כך שמכפלתו באיבר האפסבאפס תתן את איבר היחידה הכפלי (בחוג לא [[טריוויאלי]] איבר האפס תמיד שונה מאיבר היחידה הכפלי), ולכן אפס אינו הפיך1.
 
==הגדרות תקפות לחלוקה באפס==
 
לא תמיד חלוקה באפס בפונקציה תתן נקודת אי רציפות סליקה. בנקודות בהן הפונקציה היא מהצורה <math>\textstyle \frac{ a}{ 0}</math> או <math>\textstyle \frac{ \infty}{ 0}</math> (כאשר המונה והמכנה מייצגים את ה[[גבול של פונקציה|גבול]] של הפונקציה במונה והפונקציה במכנה בהתאמה; a שונה מאפס) נקודת אי הרציפות תהיה מ[[נקודת אי רציפות|הסוג השני]] והפונקציה תשאף בנקודות אלו לאינסוף. רק במקרה <math>\textstyle \frac{ 0}{ 0}</math>, אז תיתכן כל תוצאה אפשרית לגבול. במקרה כזה שימושי [[כלל לופיטל]].
 
===במבנים אלגבריים אחרים===
את הדיון בחלוקה באפס ב[[מערכות מספרים|מערכות המספרים]] המקובלות ניתן [[הכללה (מתמטיקה)|להכליל]] למבנים נוספים. הדיון מוגבל למבנים בהם יש איבר הדומה לאפס, ופעולה הדומה לחילוק. איבר אנלוגי לאפס נקרא [[איבר אפס]], והוא דומה לאפס במובן שהוא איבר היחידה ביחס לפעולה הדומה לחיבור. המבנה הפשוט והנפוץ ביותר שיש בו איבר אפס ופעולה דמויית כפל שניתן להגדיר בעזרתה חילוק (ככפל בהופכי, כאשר קיים הופכי) הוא [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]]. ההוכחה כי לכל a <math>\ a\cdot0=0</math> תקפה בכל חוג. לכן בחוג לא [[טריוויאלי]] (יש בו יותר מאיבר אחד) איבר האפס עצמו לא יכול להיות איבר היחידה הכפלי ולכן לא קיים לאיבר האפס הופכי. במקרה של החוג הטריוויאלי, הכולל את איבר האפס בלבד שמתפקד גם כאיבר היחידה החיבורי, חלוקה באפס כן מוגדרת והיא מקיימת <math>\textstyle \frac{ 0}{ 0} = 0</math>.
 
==ראו גם==