מספר לבג – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 3:
==הוכחה==
תהא <math>X</math> קבוצה קומפקטית במרחב מטרי, ויהא <math>\mathcal A</math> כיסוי פתוח של <math>\,X</math>. מהקומפקטיות נובע שקיים תת-כיסוי סופי. נסמן אותו ב-<math>\{A_1, \dots, A_n\} \subseteq \mathcal A</math>. לכל <math>i \in \{1, \dots, n\}</math>, נגדיר <math>\, C_i := X \setminus A_i</math>; אלו קבוצות סגורות. נגדיר פונקציה <math>f : X \rightarrow \mathbb R</math> לפי הנוסחה <math>f(x) := \
כיוון ש-<math>\mathcal A</math> הוא כיסוי, לכל נקודה <math>x \in X</math> יש אינדקס '''i''' כך ש <math>x \in A_i</math>. כיוון ש<math>A_i</math> קבוצה פתוחה, הרי שקיים ε > 0 כך שה־[[סביבה (מתמטיקה)|ε-סביבה]] של <math>x</math> מוכלת ב <math>A_i</math>, ואז <math>\ f(x) \geq d(x,C_i) \ge \epsilon</math>. בפרט, הפונקציה <math>\,f(x)</math> לעולם אינה מתאפסת. אבל זוהי [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] על קבוצה קומפקטית, ולכן היא מקבלת שם [[חסם (מתמטיקה)|מינימום]]. מינימום זה הוא חסם תחתון למספר לבג של הכיסוי.
| |||