הבדלים בין גרסאות בדף "חבורה ציקלית"

הוסרו 35 בתים ,  לפני 9 שנים
אין תקציר עריכה
חבורות ציקליות הן דוגמה למושג הכללי יותר, [[מודול ציקלי]].
 
==הגדרה וסימון יחידות ודוגמאות==
 
באופן פורמלי, חבורה ציקלית היא חבורה <math>\ G</math> שבה קיים איבר <math>\ g\in G</math> שהחזקות שלו מרכיבות את החבורה כולה. לאיבר כזה קוראים '''יוצר''' של החבורה. כאשר משתמשים בכתיב כפלי, מקובל לסמן את החבורה הציקלית הנוצרת על ידי איבר <math>\ g</math> בסימון <math>\ \langle g \rangle</math>.
 
כל שתי חבורות ציקליות בעלות אותו [[סדר (תורת החבורות)|סדר]] הן [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיות]] זו לזו, ולכן מוצדק לדבר על '''החבורה הציקלית''' מסדר n, ב[[ה' הידיעה]]. כאשר רוצים להדגיש את סדר החבורה, מקובל לסמן את החבורה הציקלית הנוצרת על ידי איבר <math>\ g</math> מסדר n, כ- <math>\ \langle g|g^n=1 \rangle</math> ואפילו <math>\ \langle g|g^n \rangle</math> (ראו [[חבורה מוצגת סופית]]).
לדוגמה, החבורה <math>\ \mathbb{Z}</math> הכוללת את כל המספרים השלמים, ביחס לפעולת החיבור, היא ציקלית. כל איבר שלה מתקבל מסיכום היוצר <math>\ 1</math> לעצמו, מספר סופי של פעמים. דוגמה נוספת מתקבלת מן המספרים <math>\ \{0,1,2,\dots,n-1\}</math> עם פעולת החיבור [[חשבון מודולרי|מודולו]] המספר הטבעי <math>\ n</math>, כלומר [[חבורת מנה|חבורת המנה]] <math>\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>. גם כאן, <math>\ 1</math> הוא יוצר של החבורה, שהיא בעלת [[סדר של חבורה|סדר]] <math>\ n</math>.
 
לדוגמה,החבורה החבורההאינסופית <math>\ \mathbb{Z}</math> הכוללת את כל המספרים השלמים, ביחס לפעולת החיבור, היא ציקלית. כל איבר שלה מתקבל מסיכום היוצר <math>\ 1</math> לעצמו, מספר סופי של פעמים. דוגמה[[חבורת נוספתמנה|חבורת המנה]] <math>\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>, מתקבלתהמורכבת מן המספרים <math>\ \{0,1,2,\dots,n-1\}</math> עם פעולת החיבור [[חשבון מודולרי|מודולו]] המספר הטבעי <math>\ n</math>, כלומרהוא חבורה ציקלית מ[[חבורתסדר מנהשל חבורה|חבורת המנהסדר]] <math>\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>., כאשר גם כאן, <math>\ 1</math> הוא יוצר של החבורה,. שהיא בעלת [[סדר של חבורה|סדר]] <math>\ n</math>.
בכל חבורה, תת-החבורה הנוצרת על ידי איבר אחד <math>\ g</math> (ומורכבת, על-פי ההגדרה, מכל החזקות <math>\ \{g^k : k\in \mathbb{Z}\}</math>), היא חבורה ציקלית.
 
כל חבורה ציקלית מסדר <math>\ n</math> איזומורפית ל-<math>\ \mathbb{Z}_n</math>, וכל חבורה ציקלית אינסופית איזומורפית ל-<math>\ \mathbb{Z}</math>, ולכן גם אלו סימונים מקובלים לחבורה ציקלית.
== [[קיום ויחידות|יחידות]] וסימון ==
 
בכל חבורה, תת-החבורה הנוצרת על ידי איבר אחד <math>\ g</math> (ומורכבת, על-פי ההגדרה, מכל החזקות <math>\ \{g^k : k\in \mathbb{Z}\}</math>), היא חבורה ציקלית.
כל שתי חבורות ציקליות בעלות אותו [[סדר (תורת החבורות)|סדר]] הן [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיות]] זו לזו, ולכן מוצדק לדבר על '''החבורה הציקלית''' מסדר n, ב[[ה' הידיעה]]. כאשר רוצים להדגיש את סדר החבורה, מקובל לסמן את החבורה הציקלית הנוצרת על ידי איבר <math>\ g</math> מסדר n, כ- <math>\ \langle g|g^n=1 \rangle</math> ואפילו <math>\ \langle g|g^n \rangle</math> (ראו [[חבורה מוצגת סופית]]).
 
כל חבורה ציקלית מסדר <math>\ n</math> איזומורפית ל-<math>\ \mathbb{Z}_n</math>, וכל חבורה ציקלית אינסופית איזומורפית ל-<math>\ \mathbb{Z}</math>, ולכן גם אלו סימונים מקובלים לחבורה ציקלית.
 
== איברים ==