משפט האן-בנך – הבדלי גרסאות

 

עושים זאת באמצעות [[הוכחה בדרך השלילה|הוכחה על דרך השלילה]]. מניחים שההרחבה המקסימלית ב E מוגדרת על תת-מרחב <math>\ L' \subset L</math>, כאשר <math>\ L' \ne L</math>. אזי קיים <math>\ y \in L - L'</math> ולכן אפשר לבונת במפורש הרחבה החסומה על-ידי <math>\ \rho</math>, המוגדרת כ

כאשר <math>\ z = x + \lambda y</math> פירוק יחיד של z כאשר <math>\ x \in L'</math> ו 'f הוא ההרחבה המקסימלית על 'L (והם איברי המשפחה E). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך <math>\ f'(y) = y'</math> כך שלכל z בתחום ההגדרה יתקיים <math>\ f'(x) + \lambda y' = f(z) \le \rho(z) </math>. באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א ([[חסם עליון]]) ושימוש בתכונותיה של [[פונקציה תת-לינארית]] אפשר להראות שקיים 'y כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל 'f מ 'L לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב E.