משפט האן-בנך – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אק. (שיחה | תרומות)
מ ←‏הוכחת המשפט: תיקון טעות
אק. (שיחה | תרומות)
שורה 13:
== הוכחת המשפט ==
 
הוכחת המשפט נעזרת ב[[הלמה של צורן|למה של צורן]]. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של f<submath>0\,f_0</submath> החסומות ע"י <math>\rho</math> לתת-מרחב כלשהו <math>\ L_0 \subset L_\alpha \subset L</math> עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב -<math>\,E</math>). זהו [[יחס סדר|מרחב סדור]] וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי [[הלמה של צורן]], קיים [[איבר מקסימלי]] ב -<math>\,E</math> שמהווה הרחבה של f<submath>0\,f_0</submath> המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל <math>\,L</math>.
 
עושים זאת באמצעות [[הוכחה בדרך השלילה|הוכחה על דרך השלילה]]. מניחים שההרחבה המקסימלית ב -<math>\,E</math> מוגדרת על תת-מרחב <math>\ L' \subset L</math>, כאשר <math>\ L' \ne L</math>. אזי קיים <math>\ y \in L - L'</math> ולכן אפשר לבונתלבנות במפורש הרחבה החסומה על-ידי <math>\ \rho</math>, המוגדרת כ
: <math>\ \forall z \in \mbox{span}\left(L' \cup \{y \} \right)\ : \ f(z) = f(x + \lambda y) = f'(x) + \lambda y'</math>
כאשר <math>\ z = x + \lambda y</math> פירוק יחיד של z כאשר <math>\ x \in L'</math> ו '-<math>\,f'</math> הוא ההרחבה המקסימלית על '<math>\,L'</math> (והם איברי המשפחה <math>\,E</math>). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך <math>\ f'(y) = y'</math> כך שלכל z בתחום ההגדרה יתקיים <math>\ f'(x) + \lambda y' = f(z) \le \rho(z) </math>. באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א ([[חסם עליון]]) ושימוש בתכונותיה של [[פונקציה תת-לינארית]] אפשר להראות שקיים 'y כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל '-<math>\,f'</math> מ '-<math>\,L'</math> לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב -<math>\,E</math>.
 
מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של <math>\,E</math>, וניתן לראות בקלות שגם היא ב -<math>\,E</math>, נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו [[סתירה]].
 
לכן, האיבר המקסימלי של <math>\,E</math> מוגדר היטב על כל <math>\,L</math> ומהווה הרחבה של f<submath>0\,f_0</submath> המקיימת את הנדרש.
 
== מסקנות ושימושים ==