הבדלים בין גרסאות בדף "חוג נתרי"

נוספו 13 בתים ,  לפני 9 שנים
מ (בוט משנה: de:Noetherscher Ring)
(שלוש התכונות האחרונות נובע שכל אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית היא נותרית).
 
* כל [[תחום שלמות]] נותרי <math>\ R</math> הוא [[חוגתחום אטומי|אטומי]], כלומר: כל איבר <math>\ a</math> שאינו [[איבר הפיך|הפיך]] אפשר להציג כמכפלה של [[איבר אי-פריק|איברים אי-פריקים]] מתוך <math>\ R</math>.
'''הוכחה:''' נשתמש כאן פעמיים בתנאי ה-ACC של חוג נותרי. נניח ש-a הוא איבר לא הפיך ב-R, ונגדיר את הסדרה <math>\left\{a_n\right\}</math> על ידי הכללים: <math>\ a_1 = a</math>;
<math>\ a_n</math> הוא מחלק אמיתי של <math>\ a_{n-1}</math> (מחלק אמיתי - אינו הפיך, וגם המנה ביחס אליו אינה הפיכה). האידאלים מהצורה <math>\ Ra_n</math> יוצרים שרשרת עולה ממש, ולכן, על פי תנאי ה-ACC, זו שרשרת סופית, והאיבר האחרון בה הוא אי-פריק. הוכחנו כי לכל איבר לא הפיך יש מחלק אי-פריק. נשתמש בעובדה זו על מנת ליצור סידרה חדשה <math>\left\{b_n\right\}</math> המוגדרת על ידי: <math>\ b_1 = a</math>;