פולינום מינימלי – הבדלי גרסאות

לדוגמה, הפולינום המינימלי של ה[[מטריצה ריבועית|מטריצה הריבועית]] <math>\ A=\left(\begin{array}{cc}3 & 4 \\1 & -1\end{array}\right)</math> הוא <math>\ x^2 - 2x - 7</math>, משום ש- <math>\ A^2 - 2A - 7 I = 0</math> (כאשר <math>\ I</math> היא [[מטריצת היחידה]] מסדר 2), ואין פולינום ממעלה ראשונה המאפס את המטריצה A.

לפי [[משפט קיילי-המילטון]], הפולינום המינימלי של מטריצה ריבועית מחלק את [[פולינום אופייני|הפולינום האופייני]] שלה. ידוע גם שלשני הפולינומים יש בדיוק אותם גורמים אי-פריקייםפריקים. לפולינום המינימלי חשיבות מרכזית כאשר מבקשים להעביר את המטריצה ל[[הצורה הרציונלית קנונית|צורה רציונלית קנונית]] או [[צורת ז'ורדן]]. הריבויה[[ריבוי אלגברי|ריבוי]] של [[שורש (של פונקציה)|שורש]] מסוים של הפולינום המינימלי הוא הגודל של [[בלוק ז'ורדן|בלוק הז'ורדן]] הגדול ביותר שמתאים לו.

הפולינום המינימלי מאפשר להגדיר אינווראנטים חשובים של אלגברות מממד סופי. תהי A [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] (או לכל הפחות [[אלגברה לא אסוציאטיבית]] שהיא [[אלגברה בעלת חזקות אסוציאטיביות|בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט]]), מממד סופי מעל שדה F. נבחר [[בסיס (אלגברה לינארית)|בסיס]] <math>\ b_1,\dots,b_n</math>, ונתבונן באיבר <math>\ X = x_1 b_1 + \cdots +x_n b_n</math> של האלגברה <math>\ A \otimes_F F(x_1,\dots,x_n)</math> המתקבלת מ[[הרחבת סקלרים]] מ- F לשדה הפונקציות <math>\ F(x_1,\dots,x_n)</math>. במקרה כזה, קיים פולינום מינימלי מתוקן P המאפס את X, והוא נקרא '''הפולינום המינימלי הגנרי''' של A.