הבדלים בין גרסאות בדף "שדה המספרים המרוכבים"

תיקון: זוטות, אותיות בכלמהו"שx‏1 [JS]
(תיקון: זוטות, אותיות בכלמהו"שx‏1 [JS])
 
==היסטוריה==
יצירתם של המספרים המרוכבים מיוחסת ל[[ג'ירולמו קרדאנו]] בתחילת המאה ה-16, שנעזר בהם כדי לפתור את ה[[משוואה ממעלה שלישית|המשוואה ממעלה שלישית]]. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי [[רפאל בומבלי]]. באותה עת נחשבו מספרים כאלה לבלתי קיימים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן למספרים אלה. [[דקארט]], הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של [[לאונרד אוילר|אוילר]] ו[[קרל פרידריך גאוס|גאוס]].
 
==בניה מפורטת של השדה המרוכב==
מגדירים פעולות של חיבור וכפל על האוסף <math>\ \mathbb{R}^2</math> של [[זוג סדור|זוגות סדורים]] של מספרים ממשיים, באופן הבא:
 
: <math>\ (x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)</math>
 
כדי לראות שפעולות אלה הופכות את <math>\ \mathbb{R}^2</math> לשדה, בודקים את התכונות הבאות:
* פעולות הכפל והחיבור הן [[קומוטטיביות]], [[אסוציאטיביות]] ו[[חוק הפילוג|דיסטריבוטיביות]].
* קיים [[איבר נייטרלי]] ביחס לחיבור, <math>\ (0,0)</math>.
* קיים [[איבר נייטרלי]] ביחס לכפל, <math>\ (1,0)</math>.
* לכל איבר <math>\ (x,y)</math> קיים איבר נגדי ביחס לחיבור <math>\ (-x,-y)</math>.
* לכל איבר <math>\ (a,b)</math> השונה מ <math>\ (0,0)</math> קיים [[איבר הופכי]] ביחס לכפל <math>\ \Big (\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\Big )</math>.
 
הזוגות מהצורה <math>\ (x,0)</math> מקיימים <math>\ (x,0)+(y,0)=(x+y,0)</math> ו- <math>\ (x,0)\times (y,0)=(xy,0)</math>, ולכן ההתאמה <math>\ x\mapsto (x,0)</math> מהווה [[שיכון של שדות|שיכון]] של [[שדה המספרים הממשיים|שדה הממשיים]] בשדה החדש.
לפי הגדרת הכפל, <math>\ (0,1)\times (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)=(-1,0)</math>, כלומר: בשדה החדש קיים שורש ל- <math>\ -1</math> (אותו אנו מסמנים ב- <math>\ i</math>), ואז כל איבר בשדה הוא מהצורה <math>\ x+iy</math> כאשר <math>\ x,y\in \mathbb{R}</math>.
 
 
==פונקציות סטנדרטיות מעל שדה המרוכבים==
 
===כפל מספרים מרוכבים===
במקום לזכור את ההגדרה הפורמלית של [[כפל]] המרוכבים, קל לבצע את ההכפלה בהצגה <math>\ z=a +ib</math>, להשתמש בתכונת הדיסטריבוטיביות ולזכור ש <math>\ i^2=-1</math>, באופן מפורש: <math>\ (a_1+ib_1) \cdot (a_2+ib_2)=a_1a_2 + ia_1b_2 + ib_1a_2 + i^2 b_1b_2=a_1a_2 - b_1b_2 + i(a_1b_2+b_1a_2) </math>
 
===הערך המוחלט===
בנוסף, '''הערך מוחלט''' של מספר מרוכב מוגדר על ידי <math>\ \left| a+bi \right|=\sqrt{a^2+b^2}</math> כאשר המוטיבציה להגדרה היא [[נורמה (מתמטיקה)|הנורמה האוקלידית]].
 
<math>\ \mathbb{C}</math> הוא [[מרחב וקטורי]] מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] 2 מעל <math>\ \ \mathbb{R}</math>, והערך המוחלט מהווה [[נורמה (מתמטיקה)|נורמה]] מעל <math>\ \mathbb{R}</math> (שכן הוא מקיים תכונות כגון [[אי שוויון המשולש]]). כך הופך השדה המרוכב להיות [[מרחב נורמי]] [[מרחב מטרי שלם|שלם]].
 
===הצמוד המרוכב===
[[תמונהקובץ:Complex conjugate picture.svg|שמאל|ממוזער|200px|הצגת הצמוד המרוכב <math>\ \overline z </math> של <math>\ z</math> ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]].]]
 
מלבד החלק הממשי והחלק המדומה (ראה [[מספר מרוכב]]), מגדירים גם את ''הצמוד המרוכב'':
:: <math>\ \overline{a+ib}=(a+ib)^*=a-ib</math>.
: הערה: הסימון על ידי קו עליון מקובל יותר בקרב [[מתמטיקאי|מתמטיקאים]] ואילו הסימון בכוכבית מקובל יותר בקרב ה[[פיזיקאי|פיזיקאים]]
 
הצמוד המרוכב מקיים:
* <math>\ \overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}</math>,
* <math>\ \bar{\bar{z}}=z</math>
: ולכן הצמדה <math>\ z\mapsto \bar{z}</math> מהווה [[אוטומורפיזם של שדה|אוטומורפיזם]] מסדר 2. כמו כן, פעולת ההצמדה יוצרת [[מבנה אלגברי]] שנקרא [[אלגברה סי כוכב|אלגברה כוכב]] (*-אלגברה).
 
כמו כן:
בדרך כלל משתמשים בקיצור <math>\ \operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta</math>. קיצור מקובל נוסף הוא <math>\ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math>, שנובע מתכונות פונקציית ה[[אקספוננט]] עבור ערכים מרוכבים.
 
* '''[[משפט דה מואבר]]''': לכל <math>n\in\mathbb {N}</math> מתקיים <math>(r\operatorname{cis}\theta)^n=r^n\operatorname{cis}(n\theta)</math>.
 
* '''[[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]]''': לכל <math>\theta\in\mathbb {R} </math> מתקיים: <math> \!\, e^{i \theta}=\cos{\theta} + i \sin{\theta} </math>. מנוסחה זו נובעת גם שתי הזהויות הבאות:
** <math>\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}</math>
** <math>\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}</math>