חבורת p – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ r2.6.3) (בוט מוסיף: cs:P-grupa |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 12:
עבור מספרים מאותו סדר גודל, מספר החבורות ([[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיזם]]) מסדר n הוא הגדול ביותר כאשר n הוא חזקה של ראשוני. לדוגמה, יש 15 חבורות לא איזומורפיות מסדר 16 (לעומת 28 מכל הסדרים עד 15 גם יחד), 2328 חבורות מסדר 128 ו-56092 מסדר 256.
Graham Higman (1960) ו-Sims (1965) הוכיחו שמספר החבורות מסדר <math>\ p^n</math> גדל כמו <math>\ p^{2n^3/27}</math>.
יש חבורה יחידה מכל סדר <math>\ p</math>;
שורה 20:
מספר החבורות מסדר <math>\ p^6</math> הוא <math>\ 3p^2</math> ועוד גורם לינארי התלוי ב-p;
מספר החבורות מסדר <math>\ p^7</math> הוא <math>\ 3p^5</math> ועוד גורם ממעלה רביעית התלוי ב-p. חישובים אלה, שנערכו בדייקנות, הביאו את Higman לשער השערה שנודעה בשם "The PORC conjecture" (על-שם ראשי התיבות Polynomials On Residue Classes), שלפיה לכל n יש N [[גדול מספיק]] כך שמספר החבורות מסדר <math>\ p^n</math> (עבור p גדול מספיק) הוא פולינום מסוים של p, התלוי ב- <math>\ p \pmod{N}</math> בלבד.
החבורות מכל סדר <math>\ p^n</math>, עבור <math>\ n \leq 7</math> (וכאשר <math>\ p=2</math>, עבור <math>\ n\leq 9</math>) מויינו באופן מלא. יש <math>\ 49478365422</math> חבורות מסדר <math>\ 2^{10}</math>.
== אוטומורפיזמים ==
משערים שאם P חבורת-p מסדר שאינו p או p^2, אז הסדר של [[חבורת האוטומורפיזמים]] <math>\ |\operatorname{Aut}(P)|</math> מתחלק בזה של P. [[חבורת האוטומורפיזמים החיצונית]] של חבורת-p תמיד כוללת איבר מסדר p.
== חבורת פרטיני והצגות לפי יוצרים ויחסים ==
[[חבורת פרטיני]] <math>\ \Phi(P)</math> של חבורת-p <math>\ P</math> היא תת-החבורה הנוצרת על-ידי [[תת-חבורת הקומוטטורים]] וכל חזקות-p של אברי החבורה. לכן <math>\ P/\Phi(P)</math> היא מהצורה <math>\ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^d</math> עבור d מתאים. במקרה זה, אפשר [[קבוצת יוצרים|ליצור את החבורה]] על-ידי d אברים, אבל לא פחות. את מספר היחסים ב[[הצגה לפי יוצרים ויחסים]] אפשר לקרוא מ[[הומולוגיה|חבורת ההומולוגיה השניה]] <math>\ H_2(P,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})</math>: גם זו חבורת-p אבלית אלמנטרית, שהדרגה שלה היא מספר היחסים המינימלי בהצגה של החבורה. משערים שתמיד יש לחבורה הצגה עם d יוצרים ו-r יחסים.
== אלגברת החבורה ==
לא ידוע אם [[אלגברת החבורה]] <math>\ \mathbb{F}_p[G]</math>, כאשר P היא חבורת-p, קובעת את P עד-כדי איזומורפיזם.
== ראו גם ==
* [[חבורה פרו-p]]
[[קטגוריה:תורת החבורות]]
| |||