טרנספורמציות לורנץ – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 26:
כאשר הכפל כאן הוא [[כפל מטריצות]] רגיל.
== הגדרה פורמלית ==▼
=== מרחב מינקובסקי וה[[מטריקה]] ===▼
א. שקילות של מערכות יחוס אינרציאליות – חוקי הפיזיקה מתקיימים ללא שינוי במערכות אינרציאליות.▼
נגדיר את ה[[מטריצה]] של [[מרחב מינקובסקי]] שטוח:▼
ב. ייחודה של מהירות האור – מהירות האור היא המהירות הגבוהה ביותר שבה ניתן להעביר מידע, והיא זהה בכל המערכות. ▼
:<math>g= \eta =▼
\begin{bmatrix}▼
1&0&0&0\\▼
0&-1&0&0\\▼
0&0&-1&0\\▼
0&0&0&-1▼
\end{bmatrix}</math>▼
בכתיב טנזורי, רושמים את g כ <math>g_{\mu \nu}</math>.▼
במרחב מינקובסקי ה[[זמן]] איננו [[סקלר (פיזיקה)|סקלר]] אלא חלק מ [[4-וקטור]]:▼
: <math>\ x^\mu = \left( ct , \vec{r} \right) = \left( ct, r^i \right)</math>▼
נשים לב ש <math>\ x^\mu g_{\mu \nu} x^\nu = (ct)^2 - (\vec{r})^2</math> (כאשר אינדקס מופיע פעמיים, פעם למעלה ופעם למטה, אנו מבינים שסוכמים עליו - כלומר: האינדקס רץ מ 0 עד 3) וזהו בעצם חוק [[שמירות האינטרוול]] ואינווריאנטיות [[הזמן העצמי]].▼
ראו עוד: [[הסכם הסכימה של איינשטיין]].▼
נתאר את מרחב זמן בעזרת תרשים 1 מערכת נחה. מנקודה B נפלט בזמן t=0 אות אור לעבר נקודת A ו- C. מיקום אות האור מתואר בעזרת הקווים הכחולים. העובדה שהאות מגיע בדיוק באותו זמן לשתי הנקודות מצוינת על ידי הקו A1, C1, הנמצא במקביל לציר x.▼
{{ניווט|הסתרה=כן|יישור טקסט=ימין|מוסתר=כן|כותרת=הוכחת הנוסחא לטרנספורמציית לורנץ|תוכן=
הנחות היסוד של בפיתוח טרסנפורמציית לורנץ הן
▲
▲
▲נתאר את
[[File:Rel1.JPG|Reli]]
'''תרשים 1''' – ''תרשים מרחב-זמן. הציר האופקי הוא ציר המרחב, והציר האנכי
הנקודות אינן נעות ביחס למערכת. לכן קו העולם (המקווקו) של כל אחת מהנקודות מקביל לציר הזמן.
נניח עתה כי הנקודות A, B ו- C נעות במהירות
▲נניח עתה כי הנקודות A, B ו- C נעות במהירות קבוע ביחס למערכת S הנמצאת במנוחה, או לחילופין הם נמצאות במנוחה ביחס למערכת 'S הנעה במהירות קבועה ביחס למערכת S. במערכת S האות אור הנפלט מ- B יגיע קודם אל A ולאחר מכן אל C. תרשים זמן מרחב של שתי המערכות מופיע בתרשים 2.
[[File:Rel2.JPG|Rel2]]
'''תרשים 2''' – ''תרשים מרחב-זמן של
[[File:Rel3.JPG|Rel3]]
'''תרשים 3''' – ''תרשים מרחב-זמן של מערכת S
נבחן עתה את
[[File:Rel4.JPG|Rel4]]▼
'''תרשים 4''' – ''תאור האירוע P בעזרת שתי מערכות אינרציאליות. מערכת נחה S ומערכת נעה 'S.''▼
===מעבר מקואורדינאטות של מערכת נחה למערכת נעה===▼
▲נבחן עתה את תאור האירוע P בשתי המערכות. במערכת הנחה האירוע יתואר בעזרת הקואורדינאטות (x<sub>P</sub>, t<sub>P</sub>), בעוד שבמערכת הנעה יהיה תאורו בעזרת הקואורדינאטות ('x<sub>P</sub>', t<sub>P</sub>). תיאור האירוע בשתי המערכות S ו- 'S מופיע בתרשים 4.
▲[[File:Rel4.JPG|Rel4]]
(1) <math>\begin{align}x&= ax'+bt' \\ x'&=ax-bt\end{align}</math>
▲'''תרשים 4''' – תאור האירוע P בעזרת שתי מערכות אינרציאליות. מערכת נחה S ומערכת נעה 'S.
▲===מעבר מקואורדינאטות של מערכת נחה למערכת נעה===
כאשר <math>\ a,b</math> הם מספרים כלשהם, שאותם יש לחשב. אם נבחן את הקוארדינטות במערכת 'S של האירוע <math> x=0 </math> (ראשית הצירים של מערכת S), נגלה כי
▲לפי עקרון היחסיות קיימת שקילות בין מערכות אינרציאליות. מתרשים 4 ניתן לראות כי ניתן לתאר את הקשרים בין הקואורדינטות של שתי המערכות בעזרת קשרים לינאריים. לכן ניתן לבטא את היחסים בין שתי המערכות בדרך הבאה:
<math>\ 0=a x'-bt'</math>
'''לפי הגדרה''', היחס בין 'x לבין 't הוא מהירות מערכת 'S יחסית ל S, כלומר:
(2) <math>
כאשר v היא מהירות
נעקוב עתה אחרי אות אור היוצא מהראשית 0 ב- t=0. תאור האות בכל אחת מהמערכות יהיה:
(3) <math>\begin{align}x&= ct \\ x'&=ct'\end{align}</math>
נציב את משואות (3) במשוואות (1) ונקבל:
(4) <math>\begin{align}ct&= act'+bt'=(ac+b)t' \\ ct'&=act-bt=(ac-b)t\end{align}</math>
נחלץ את t ו- 't ממשואות (4) ונציב את (2) ונקבל
(5) <math>\ c^2=a^2(c^2-v^2) </math>
ממשוואה זו ניתן לחלץ את a:
(6) <math>\ a=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\equiv \gamma </math>
הסימון הסטנדרטי לגודל זה הוא האות היוונית <math>\ \gamma</math>. נציב את (6) ב- (1) ונקבל
<math>\begin{align}x= a x'+bt = a\left(x'+\frac{b}{a}t'\right) &= \gamma (x'+vt') \\
x'= a x-bt = a\left(x-\frac{b}{a}t\right) &= \gamma (x-vt)\end{align}</math>
<math>\begin{align}t & = \gamma\left(t'+\frac{v}{c^2}x'\right) \\t'&= \gamma\left(t-\frac{v}{c^2}x\right) \end{align}</math>
מאחר ואין תנועה יחסית בין מערכת S למערכת 'S
<math> \begin{array}{lclclcl}
x&=&\gamma (x'+vt')&\qquad&x'&=&\gamma (x-vt)\\
y & = & y' & \qquad & y' & = & y\\
z & = & z' & \qquad & z' & = & z\\
t&=&\gamma \left(t'+\frac{v}{c^2}x'\right)&\qquad&x'&=&\gamma \left(t-\frac{v}{c^2}x\right)\\
\end{array}</math>
}}
▲== הגדרה פורמלית ==
▲=== מרחב מינקובסקי וה[[מטריקה]] ===
▲נגדיר את ה[[מטריצה]] של [[מרחב מינקובסקי]] שטוח:
▲:<math>g= \eta =
▲\begin{bmatrix}
▲1&0&0&0\\
▲0&-1&0&0\\
▲0&0&-1&0\\
▲0&0&0&-1
▲\end{bmatrix}</math>
▲בכתיב טנזורי, רושמים את g כ <math>g_{\mu \nu}</math>.
▲במרחב מינקובסקי ה[[זמן]] איננו [[סקלר (פיזיקה)|סקלר]] אלא חלק מ [[4-וקטור]]:
▲: <math>\ x^\mu = \left( ct , \vec{r} \right) = \left( ct, r^i \right)</math>
▲נשים לב ש <math>\ x^\mu g_{\mu \nu} x^\nu = (ct)^2 - (\vec{r})^2</math> (כאשר אינדקס מופיע פעמיים, פעם למעלה ופעם למטה, אנו מבינים שסוכמים עליו - כלומר: האינדקס רץ מ 0 עד 3) וזהו בעצם חוק [[שמירות האינטרוול]] ואינווריאנטיות [[הזמן העצמי]].
▲ראו עוד: [[הסכם הסכימה של איינשטיין]].
=== חבורת לורנץ ===
| |||