סדר טוב – הבדלי גרסאות

איבר <math>\ y </math> נקרא עוקב מיידי של <math>\ x </math> אם <math>\ y > x </math> ואין איבר <math>z \in \mathbb{Q}</math> כך ש <math>\ y > z > x </math>

<ref>'''קטע התחלי (רישא):''' הוא קבוצה מהצורה <math> S_x = \left\{y \in \mathbb{Q} : y < x \right\}</math>

ארבע תכונות חשובות נוספות מתקיימות על מחלקת הסדרים. תכונות אלה מראות כי מחלקת הסדרים המלאים מסודרת [[סדר_מלא | בסדר מלא]], ביחס לפעולה <math> \mathbb{Q} \le P </math> אם ורק אם <math> \mathbb{Q} \cong P</math> או <math> \mathbb{Q} \cong P_x </math>.

# '''אי-סימטריות:''' משפט [[משפט_קנטור-שרדר-ברנשטיין|קנטור ברנשטיין]] חל גם על סדרים טובים, כלומר אם <math> (P , \le)</math> <math> (\mathbb{Q} , \le)</math> סדרים טובים וניתן [[פונקציה_שומרת_סדר|לשכן]] את P ב-Q וניתן [[פונקציה_שומרת_סדר|לשכן]] את Q ב-P אז הסדרים איזומורפיים.

# '''השוואתיות:''' כל שני סדרים טובים ניתנים להשוואה, כלומר אם <math> (P , \le)</math> <math> (\mathbb{Q} , \le)</math> סדרים טובים, אז או ש <math>\ \mathbb{Q} \cong P</math> או ש <math>\ Q \cong P_x </math> (כאשר <math>\ P_x</math> קטע התחלי של P ) או ש <math>\ Q_y\mathbb{Q}_y \cong P </math> (כאשר <math>\ Q_y\mathbb{Q}_y</math> קטע התחלי של Q).

# '''טרנזטיביות :''' לפי אופן הרכבת פונקציות איזומורפיות אם <math> (M , \le)</math> <math> (P , \le)</math> <math> (\mathbb{Q} , \le)</math> סדרים טובים ו <math>\ f : \mathbb{Q} \rightarrow P </math> <math>\ g : P \rightarrow M </math> איזומורפיזמים, אז גם <math>\ g \circ f : \mathbb{Q} \rightarrow M </math> איזומורפיזם ולכן אם <math>\mathbb{Q} \le P </math> וגם <math>P \le M </math> אז <math>\mathbb{Q} \le M</math>.