פונקציה חד-חד-ערכית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
{{לפשט}} - מנוסח באופן טכני מידי. |
מ הסבר בדף השיחה |
||
שורה 1:
{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], [[פונקציה]] היא '''חד-חד-ערכית''' (חח"ע) אם היא מקבלת כל [[ערך (מתמטיקה)|ערך]] פעם אחת לכל היותר
* הפונקציה <math>\ y = x</math> היא פונקציה חד-חד-ערכית בכל [[הישר הממשי]].
המונח "פונקציה חד-ערכית" אינו בשימוש, משום שכל פונקציה היא, מעצם הגדרתה, חד-ערכית: פונקציה מתאימה ערך יחיד <math>\ f(x)</math> לכל [[איבר (מתמטיקה)|איבר]] <math>\ x</math> בתחום שעליו היא מוגדרת. בפונקציה חד-חד-ערכית גם הכיוון ההפוך נכון: היא מתאימה מקור יחיד, <math>\ x</math>, לכל ערך <math>\ f(x)</math> בתמונה שלה.▼
* הפונקציה <math>\ y = x^2</math> היא פונקציה חד-חד-ערכית בתחום <math>\ (0, \infty) </math> אך אינה חד-חד-ערכית בכל [[הישר הממשי]], מפני שלכל <math>\ x</math> מתקיים: <math>\ x^2 = (-x)^2</math>
מעצם קיומה של פונקציה חד-חד-ערכית <math>\ f: X \rightarrow Y</math> אפשר להסיק שבקבוצה <math>\ Y</math> יש לפחות אותו מספר איברים כמו ב-<math>\ X</math> (אחרת לא ניתן היה להתאים לכל איבר של <math>\ X</math> ערך נפרד). הבחנה זו עומדת בבסיס התורה של [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמות]]: אומרים שהעוצמה של <math>\ X</math> קטנה-או-שווה לעוצמה של <math>\ Y</math> (היינו <math>\ |X|\leq |Y|</math>) [[אם ורק אם]] קיימת פונקציה חד-חד-ערכית מ-<math>\ X</math> ל-<math>\ Y</math>. ▼
פונקציות חד-חד-ערכיות ממלאות תפקיד דומה גם כאשר הן מוגדרות בין קבוצות שיש עליהן מבנה נוסף (כגון [[קבוצה סדורה|יחס סדר]], פעולות של [[מבנה אלגברי]], [[מרחב טופולוגי|טופולוגיה]], ועוד). במקרה כזה (ולפעמים, כאשר מתקיימים תנאים נוספים), הפונקציה נקראת גם '''[[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]]''', משום שהיא משכנת את המבנה <math>\ X</math> כתת-מבנה בתוך המבנה <math>\ Y</math>, ובכך מאפשרת ללמוד מזה על זה, ולהשוות ביניהם.▼
▲==דוגמאות==
<div style="text-align: center;">
שורה 17 ⟵ 11:
</gallery>
</div>
בניסוח פורמלי: פונקציה <math>\ f:X\rarr Y</math> מ[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>\ X</math> לקבוצה <math>\ Y</math> היא חד-חד-ערכית, אם השוויון <math>\ f(a) = f(b)</math> עבור <math>\ a,b</math> ב-<math>\ X</math>, מחייב <math>\ a = b</math>.
▲המונח "פונקציה חד-ערכית" אינו בשימוש, משום שכל פונקציה היא, מעצם הגדרתה, חד-ערכית: פונקציה מתאימה ערך יחיד <math>\ f(x)</math> לכל [[איבר (מתמטיקה)|איבר]] <math>\ x</math> בתחום שעליו היא מוגדרת. בפונקציה חד-חד-ערכית גם הכיוון ההפוך נכון: היא מתאימה מקור יחיד, <math>\ x</math>, לכל ערך <math>\ f(x)</math> בתמונה שלה.
▲פונקציות חד-חד-ערכיות ממלאות תפקיד דומה גם כאשר הן מוגדרות בין קבוצות שיש עליהן מבנה נוסף (כגון [[קבוצה סדורה|יחס סדר]], פעולות של [[מבנה אלגברי]], [[מרחב טופולוגי|טופולוגיה]], ועוד). במקרה כזה (ולפעמים, כאשר מתקיימים תנאים נוספים), הפונקציה נקראת גם '''[[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]]''', משום שהיא משכנת את המבנה <math>\ X</math> כתת-מבנה בתוך המבנה <math>\ Y</math>, ובכך מאפשרת ללמוד מזה על זה, ולהשוות ביניהם.
==דוגמאות==
ה[[פונקציה ממשית|פונקציה הממשית]] <math>\ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> המוגדרת לפי השוויון <math>\ f(x)=2x+1</math> היא חד-חד-ערכית, משום שאם <math>\ 2x+1=2y+1</math> אז בהכרח <math>\ x=y</math>. לעומת זאת, הפונקציה <math>\ g(x)=x^2</math>, המוגדרת על כל המספרים הממשיים, אינה חד-חד-ערכית, משום ש- <math>\ g(1)=g(-1)=1</math>. הפונקציה <math>\ g</math> מקבלת כל ערך (לכל היותר) פעמיים, ואם מצמצמים את תחום ההגדרה שלה אל המספרים החיוביים בלבד, הפונקציה המתקבלת היא חד-חד-ערכית.
==תכונות==
# החד-חד-ערכיות של פונקציה <math>\ f: X \rightarrow Y</math> מאפשרת להגדיר לה '''[[פונקציה הפוכה]]''' מן התמונה <math>\ f(X) = \{f(x): x\in X\}</math> אל המקור <math>\ X</math>: לכל <math>\ y \in f(X)</math>, הפונקציה ההפוכה <math>\ f^{-1}(y)</math> מקבלת את הערך היחיד <math>\ x\in X</math> המקיים <math>\ f(x)=y</math> (היחידות שקולה כמובן לכך ש-<math>\ f</math> חד-חד-ערכית). יש להבחין שהפונקציה אינה מוגדרת על כל <math>\ Y</math>, אלא רק על התמונה של <math>\ X</math>, ואכן ההרכבה <math>\ f^{-1}\circ f</math> היא פונקציית הזהות על <math>\ X</math>, ואילו ההרכבה <math>\ f \circ f^{-1}</math> היא פונקציית הזהות על <math>\ f(X)</math>, אבל אינה מוגדרת על כל <math>\ Y</math>.
# אם <math>\ f:X \rightarrow Y</math> פונקציה ו-<math>\ A,B</math> תת-קבוצות של <math>\ X</math>, אז <math>\ f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)</math>, אבל בדרך כלל אין שוויון בין הקבוצות; אם <math>\ f</math> חד-חד-ערכית מתקבל שוויון.
# נניח ש- <math>\ f : X \rightarrow Y</math> ו- <math>\ g : Y \rightarrow Z</math> הן שתי פונקציות. אם ה[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] שלהן <math>\ g \circ f : X \rightarrow Z</math> חד-חד-ערכית, אז גם <math>\ f</math> בהכרח כזו (אולם <math>\ g</math> לא בהכרח חד-חד-ערכית). מצד שני, אם גם <math>\ f</math> וגם <math>\ g</math> חד-חד-ערכיות, גם ההרכבה מקיימת תכונה זו.
# תכונת החד-חד-ערכיות שקולה לתכונת ה"צמצום מימין", במובן הבא: <math>\ f:X \rightarrow Y</math> חד-חד-ערכית, אם ורק אם לכל שתי פונקציות <math>\ g,h:Y \rightarrow W</math> כך ש-<math>\ h\circ f=g\circ f</math>, מתקיים <math>\ g=h</math>. עובדה זו מאפשרת להגדיר ב[[תורת הקטגוריות]] את המושג "פונקציה אינג'קטיבית", שהוא הכללה של "פונקציה חד-חד-ערכית" מן הקטגוריה של הקבוצות ל[[קטגוריה (תורת הקטגוריות)|קטגוריה]] כללית.
▲מעצם קיומה של פונקציה חד-חד-ערכית <math>\ f: X \rightarrow Y</math> אפשר להסיק שבקבוצה <math>\ Y</math> יש לפחות אותו מספר איברים כמו ב-<math>\ X</math> (אחרת לא ניתן היה להתאים לכל איבר של <math>\ X</math> ערך נפרד). הבחנה זו עומדת בבסיס התורה של [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמות]]: אומרים שהעוצמה של <math>\ X</math> קטנה-או-שווה לעוצמה של <math>\ Y</math> (היינו <math>\ |X|\leq |Y|</math>) [[אם ורק אם]] קיימת פונקציה חד-חד-ערכית מ-<math>\ X</math> ל-<math>\ Y</math>.
==ראו גם==
| |||