פונקציה חד-חד-ערכית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←תכונות: קצת קישורים |
|||
שורה 25:
==תכונות==
# החד-חד-ערכיות של פונקציה <math>\ f: X \rightarrow Y</math> מאפשרת להגדיר לה '''[[פונקציה הפוכה]]''' מן התמונה <math>\ f(X) = \{f(x): x\in X\}</math> אל המקור <math>\ X</math>: לכל <math>\ y \in f(X)</math>, הפונקציה ההפוכה <math>\ f^{-1}(y)</math> מקבלת את הערך היחיד <math>\ x\in X</math> המקיים <math>\ f(x)=y</math> (היחידות שקולה כמובן לכך ש-<math>\ f</math> חד-חד-ערכית). יש להבחין שהפונקציה אינה מוגדרת על כל <math>\ Y</math>, אלא רק על התמונה של <math>\ X</math>, ואכן
# אם <math>\ f:X \rightarrow Y</math> פונקציה ו-<math>\ A,B</math> תת-קבוצות של <math>\ X</math>, אז <math>\ f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)</math>, אבל בדרך כלל אין שוויון בין הקבוצות; אם <math>\ f</math> חד-חד-ערכית מתקבל שוויון.
# נניח ש- <math>\ f : X \rightarrow Y</math> ו- <math>\ g : Y \rightarrow Z</math> הן שתי פונקציות. אם ה[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] שלהן <math>\ g \circ f : X \rightarrow Z</math> חד-חד-ערכית, אז גם <math>\ f</math> בהכרח כזו (אולם <math>\ g</math> לא בהכרח חד-חד-ערכית). מצד שני, אם גם <math>\ f</math> וגם <math>\ g</math> חד-חד-ערכיות, גם ההרכבה מקיימת תכונה זו.
# תכונת החד-חד-ערכיות שקולה לתכונת ה"צמצום מימין", במובן הבא: <math>\ f:X \rightarrow Y</math> חד-חד-ערכית, [[אם ורק אם]] לכל שתי פונקציות <math>\ g,h:Y \rightarrow W</math> כך ש-<math>\ h\circ f=g\circ f</math>, מתקיים <math>\ g=h</math>. עובדה זו מאפשרת להגדיר ב[[תורת הקטגוריות]] את המושג "פונקציה אינג'קטיבית", שהוא הכללה של "פונקציה חד-חד-ערכית" מן הקטגוריה של הקבוצות ל[[קטגוריה (תורת הקטגוריות)|קטגוריה]] כללית.
מעצם קיומה של פונקציה חד-חד-ערכית <math>\ f: X \rightarrow Y</math> אפשר להסיק שבקבוצה <math>\ Y</math> יש לפחות אותו מספר איברים כמו ב-<math>\ X</math> (אחרת לא ניתן היה להתאים לכל איבר של <math>\ X</math> ערך נפרד). הבחנה זו עומדת בבסיס התורה של [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמות]]: אומרים שהעוצמה של <math>\ X</math> קטנה-או-שווה לעוצמה של <math>\ Y</math> (היינו <math>\ |X|\leq |Y|</math>) [[אם ורק אם]] קיימת פונקציה חד-חד-ערכית מ-<math>\ X</math> ל-<math>\ Y</math>.
==ראו גם==
| |||