|
==הוכחה==
נוכיח כי הפונקציה [[פונקציה רציפה|רציפה]] בכל נקודה [[מספר אי רציונלי|אי-רציונלית]], ואינה רציפה באף נקודה [[מספר רציונלי|רציונלית]] על הישר.
===אי רציפות במספרים הרציונלים===
יהי <math>x_0=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}</math>, כאשר <math>\,p,q</math> שלמים זרים ו-<math>\,q>0</math>. מכאן ש-<math>f(x_0)=\frac{1}{q}</math>. נראה כי <math>\,f</math> אינה רציפה ב-<math>\,x_0</math>. קבוצת המספרים האי-רציונלים [[קבוצה צפופה|צפופה]] ב[[הישר הממשי|ישר הממשי]], לכן יש סדרה <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> של מספרים '''אי רציונלים''' המקיימת <math>x_n\to x_0</math>. לכל <math>\,n</math> מתקיים <math>\,f(x_n)=0</math>, ולכן <math>\lim_{n\to\infty} f(x_n)=0\ne f(x_0)=\frac{1}{q}</math>, ולכן לפי הגדרת ה[[רציפות]] לפי היינה, הפונקציה אינה רציפה ב-<math>\,x_0</math>.
כעת נניח ש- x מספר אי-רציונלי; נראה שהפונקציה רציפה ב- x. יהי <math>\varepsilon>0</math>, אז קיים N שלם כך ש- <math>0 < 1/N < \varepsilon</math>. נסמן <math>\ M=N!</math>, פונקצית ה[[עצרת]]. מכיוון ש- x אינו רציונלי, קיים <math>\ 0<\delta</math> כך שהמרחק מ- x לכל שבר מהצורה <math>\ \frac{k}{M}</math> עם k שלם, גדול מ- <math>\ \delta</math>. כעת נניח ש- <math>\ r=\frac{p}{q}</math> הוא שבר מצומצם שמרחקו מ- x קטן מ- <math>\ \delta</math>, אז q לא יכול לחלק את M, ולכן <math>\ q>N</math> ו- <math>\ f(r)=1/q<1/N<\varepsilon</math>. הראינו שאם <math>\,|r-x|<\delta</math> אזי <math>|f(r)|<\varepsilon</math>, כדרוש.
===רציפות במספרים האי רציונלים===
יהי <math>x_0\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}</math> (כלומר <math>\,x_0</math> אי רציונלי), נראה ש-<math>\,f</math> רציפה ב-<math>\,x_0</math>. נשתמש בהגדרת ה[[רציפות]] לפי קושי. יהי <math>\varepsilon>0</math>. יש למצוא <math>\,\delta>0</math> כך שאם <math>x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)</math> אזי <math>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. ואמנם, יהי <math>\,N</math> מספר טבעי המקיים <math>N>\frac{1}{\varepsilon}</math>. נעיין בקטע <math>\,I=(x_0-1,x_0+1)</math>. לכל <math>\,q</math> טבעי יש בקטע <math>\,I</math> מספר סופי של מספרים מן הצורה <math>\frac{p}{q}</math>, כלומר, הקבוצה <math>A_q=\left\{\frac{p}{q}\left|\frac{p}{q}\in I\right.\right\}</math> היא סופית לכל <math>\,q</math>. מכאן גם שהקבוצה <math>A=\bigcup_{q=1}^{N-1} A_q</math> היא סופית (איחוד סופי של קבוצות סופיות). כלומר, אוסף המספרים הרציונלים בקטע <math>\,I</math> בהם המכנה קטן מ-<math>\,N</math> הוא סופי. יהיה <math>r\in A</math> הקרוב ביותר ל-<math>\,x_0</math> (קיים כזה כי <math>\,A</math> סופית). נסמן <math>\,\delta=\frac{|x_0-r|}{2}</math>. נשים לב כי מכיוון ש-<math>\,r</math> רציונלי ו-<math>\,x_0</math> אינו רציונלי, הרי ש-<math>\,\delta>0</math>. יהי <math>\,x\in\mathbb{R}</math> המקיים <math>\,|x-x_0|<\delta</math>. ייתכנו שתי אפשרויות:
# <math>\,x\notin\mathbb{Q}</math> ואז <math>\,f(x)=0</math>, ומכאן <math>|f(x)-f(x_0)|=0<\varepsilon</math>.
# <math>\,x=\frac{p_0}{q_0}\in\mathbb{Q}</math>. מכיוון שמרחקו של <math>\,x</math> מ-<math>\,x_0</math> קטן מ-<math>\,\delta</math> הרי ברור ש-<math>\,x\notin A</math> ולכן <math>\,q_0>N</math>. מכאן ש-<math>|f(x)-f(x_0)|=|\frac{1}{q_0}-0|<\frac{1}{N}<\varepsilon</math>.
כלומר הראינו כי בכל מקרה, אם <math>\,|x-x_0|<\delta</math> אזי <math>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math>, ומכאן ש-<math>\,f</math> רציפה ב-<math>\,x_0</math>. תושלב"ע.
==ראו גם==
|
