פונקציית רימן – הבדלי גרסאות

נוספו 135 בתים ,  לפני 15 שנים
מ
←‏הוכחה: ועדת קישוט
מ
מ (←‏הוכחה: ועדת קישוט)
יהי <math>x_0=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}</math>, כאשר <math>\,p,q</math> שלמים זרים ו-<math>\,q>0</math>. מכאן ש-<math>f(x_0)=\frac{1}{q}</math>. נראה כי <math>\,f</math> אינה רציפה ב-<math>\,x_0</math>. קבוצת המספרים האי-רציונלים [[קבוצה צפופה|צפופה]] ב[[הישר הממשי|ישר הממשי]], לכן יש סדרה <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> של מספרים '''אי רציונלים''' המקיימת <math>x_n\to x_0</math>. לכל <math>\,n</math> מתקיים <math>\,f(x_n)=0</math>, ולכן <math>\lim_{n\to\infty} f(x_n)=0\ne f(x_0)=\frac{1}{q}</math>, ולכן לפי הגדרת ה[[רציפות]] לפי היינה, הפונקציה אינה רציפה ב-<math>\,x_0</math>.
 
כעת נניח ש- <math>\,x</math> מספר אי-רציונלי; נראה שהפונקציה רציפה ב- <math>\,x</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math>, אז קיים <math>\,N</math> שלם כך ש- <math>0 < \frac{1/}{N} < \varepsilon</math>. נסמן <math>\ M=N!</math>, (פונקצית ה[[עצרת]]). מכיוון ש- <math>\,x</math> אינו רציונלי, קיים <math>\ 0<\delta</math> כך שהמרחק מ- <math>\,x</math> לכל שבר מהצורה <math>\ \frac{k}{M}</math> עם <math>\,k</math> שלם, גדול מ- <math>\ \delta</math>. כעת נניח ש- <math>\ r=\frac{p}{q}</math> הוא שבר מצומצם שמרחקו מ- <math>\,x</math> קטן מ- <math>\ \delta</math>, אז <math>\,q</math> לא יכול לחלק את <math>\,M</math>, ולכן <math>\ q>N</math> ו- <math>\ f(r)=1/q<1/N<\varepsilon</math>. הראינו שאם <math>\,|r-x|<\delta</math> אזי <math>|f(r)|<\varepsilon</math>, כדרוש.
 
==ראו גם==
191

עריכות