פונקציית רימן – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←הוכחה: ועדת קישוט |
מ ←הוכחה: קוסמטיקה |
||
שורה 28:
יהי <math>x_0=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}</math>, כאשר <math>\,p,q</math> שלמים זרים ו-<math>\,q>0</math>. מכאן ש-<math>f(x_0)=\frac{1}{q}</math>. נראה כי <math>\,f</math> אינה רציפה ב-<math>\,x_0</math>. קבוצת המספרים האי-רציונלים [[קבוצה צפופה|צפופה]] ב[[הישר הממשי|ישר הממשי]], לכן יש סדרה <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> של מספרים '''אי רציונלים''' המקיימת <math>x_n\to x_0</math>. לכל <math>\,n</math> מתקיים <math>\,f(x_n)=0</math>, ולכן <math>\lim_{n\to\infty} f(x_n)=0\ne f(x_0)=\frac{1}{q}</math>, ולכן לפי הגדרת ה[[רציפות]] לפי היינה, הפונקציה אינה רציפה ב-<math>\,x_0</math>.
כעת נניח ש-<math>\,x</math> מספר אי-רציונלי; נראה שהפונקציה רציפה ב- <math>\,x</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math>, אז קיים <math>\,N</math> שלם כך ש-<math>0 < \frac{1}{N} < \varepsilon</math>. נסמן <math>\ M=N!</math> (פונקצית ה[[עצרת]]). מכיוון ש-<math>\,x</math> אינו רציונלי, קיים <math>\
ו-<math>\ f(r)=\frac{1 ==ראו גם==
| |||