משוואה דיפרנציאלית ליניארית – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
מ (r2.7.1) (בוט מוסיף: sk:Obyčajná lineárna diferenciálna rovnica)
אין תקציר עריכה
ב[[מתמטיקה]], בתורת'''משוואה דיפרנציאלית לינארית''' היא ה[[משוואה דיפרנציאלית רגילה|משוואות הדיפרנציאליות הרגילות]] בפונקציה הנעלמת <math>\ y=y(x)</math>, משפחתשאפשר ה'''משוואותלהציג הלינאריות'''בצורה היא<math>\ משפחהy^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots+p_1(x)y'+p_0(x)y=g(x)</math>, חשובהכאשר של<math>\ משוואותp_{n-1},\dots,p_0,g</math> שקיימתהן עבורהפונקציות תאוריהשל מפותחתהמשתנה וטכניקות<math>\ פתרוןx</math> שיטתיות,בלבד. בניגוד למרבית טיפוסי המשוואות הדיפרנציאליות, האחרותלמשוואות הלינאריות יש תאוריה מפותחת וטכניקות פתרון שיטתיות, והן מופיעות בתחומי מדע רבים.
 
==רישום בצורה אופרטורית==
==הגדרה פורמלית==
 
משוואה דיפרנציאלית רגילה תיקרא '''משוואה לינארית''' מסדר <math>\ n</math> אם היא מהצורה <math>\ y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots+p_1(x)y'+p_0(x)y=g(x)</math> כאשר <math>\ p_{n-1},\dots,p_0,g</math> הן פונקציות של המשתנה <math>\ x</math> בלבד.
משוואה דיפרנציאלית היא בעלת '''סדר <math>\ n</math>''' אם מופיעה בה הנגזרת ה-n-ית <math>\ y^{(n)}</math>, אבל לא הנגזרת הבאה, <math>\ y^{(n+1)}</math>.
 
ניתן לרשום את המשוואה בצורה מקוצרת אם מגדירים [[אופרטור]] כך: <math>\ L=\frac{d^n}{dx^n}+p_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}+\dots+p_0</math>, ואז המשוואה נרשמת כך: <math>\ L\left[y\right]=g(x)</math>. המשוואה נקראת "לינארית" שכן אופרטור זה הוא [[פונקציה לינארית|לינארי]]: <math>\ L\left[\lambda_1 y_1+\lambda_2 y_2\right]=\lambda_1 L\left[y_1\right]+\lambda_2 L\left[y_2\right]</math>.