משפט ארצלה-אסקולי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
יהונתן בראון (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
יהונתן בראון (שיחה | תרומות) הוספת הוכחה |
||
שורה 1:
ב[[אנליזה פונקציונלית]], '''משפט ארצלה-אסקולי''' (נקרא גם משפט אסקולי בספרות) קובע שלסדרה חסומה ו[[רציפות במידה אחידה|רציפה במידה אחידה]] של פונקציות <math>\{f_n\left(x\right)\}</math> ב-
<math>\ C[a,b] </math>
שורה 13 ⟵ 12:
<math>\ [a,b] \times [a,b]</math>
הוא [[אופרטור קומפקטי]].
= הוכחת המשפט =
לצורך הוכחת המשפט נשתמש בניסוח יותר כללי שלו.
יהי <math>\ K</math> [[מרחב מטרי]] [[קבוצה קומפקטית|קומפקטי]]. ותהי <math>A\subseteq C\left(K\right)</math> קבוצה סגורה וחסומה (<math>C\left(K\right)</math> הוא מרחב הפונקציות הרציפות על <math>\ K</math>). אזי <math>\ A</math> קומפקטית אם ורק אם אברי <math>\ A</math> רציפים במידה אחידה.
==כיוון ראשון==
נניח שאברי <math>\ A</math> רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב-<math>\ A</math> יש תת-סדרה מתכנסת (כלומר <math>\ A</math> קומפקטית).
תהי <math>\left\{f_n\right\}_{n=1}^\infty</math> סדרת פונקציות ב-<math>\ A</math>.
תהי <math>\left\{x_k\right\}_{k=1}^\infty</math> סדרה צפופה ב-<math>\ K</math> (קיימת כזאת כי <math>\ K</math> מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).
נתבונן בסדרה <math>\left\{f_n\left(x_1\right)\right\}_{n=1}^\infty</math>. זוהי סדרה חסומה ב-<math>\mathbb{R}</math> בפרט יש לה תת-סדרה מתכנסת. נסמן אותה ב-<math>\left\{f_n^1\left(x_1\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> ואת גבולה ב-<math>\xi_1</math>.
כעת נתבונן בסדרה <math>\left\{f_n^1\left(x_2\right)\right\}_{n=1}^\infty</math>. גם זו סדרה חסומה ב-<math>\mathbb{R}</math> לפיכך יש לה תת-סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב-<math>\left\{f_n^2\left(x_2\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> ואת גבולה ב-<math>\xi_2</math>.
וכך בתהליך איטרטיבי לכל <math>m\in\mathbb{N}</math> נגדיר את הסדרה <math>\left\{f_n^m\left(x_m\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> להיות תת-סדרה מתכנסת של <math>\left\{f_n^{m-1}\left(x_m\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> ואת גבולה נסמן ב-<math>\xi_m</math>.
אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון <math>\left\{g_n\right\}_{n=1}^\infty</math> המוגדרת לכל <math>\ n</math> כך <math>\ g_n:=f_n^n</math> (כלומר זו סדרת פונקציות שהאיבר ה-<math>\ n</math>-י שלה הוא האיבר ה-<math>\ n</math>-י בסדרה ה-<math>\ n</math>-ית).
# זוהי תת-סדרה של <math>\left\{f_n\right\}_{n=1}^\infty</math>.
# לכל <math>k\in\mathbb{N}</math> הסדרה <math>\left\{g_n\left(x_k\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ל-<math>\xi_k</math> שכן הזנב שלה, <math>\left\{g_n\left(x_k\right)\right\}_{n=k}^\infty</math>, הוא תת-סדרה של <math>\left\{f_n^k\left(x_k\right)\right\}_{n=1}^\infty</math>.
יהי <math>\varepsilon>0</math>.
אברי <math>\ A</math> רציפים במידה אחידה לכן קיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל <math>x,y\in K</math> ולכל <math>n\in\mathbb{N}</math>,
אם <math>d\left(x,y\right)<\delta</math> אזי <math>d\left(g_n\left(x\right),g_n\left(y\right)\right)<\frac{\varepsilon}{3}</math>
(כאשר <math>\ d</math> היא פונקצית המטריקה ב-<math>\ K</math>)
<math>\ K</math> קומפקטי לפיכך נכסה אותו במספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר <math>\ \delta</math> שנסמנם ב <math>\ O_1..O_l</math>.
לכל <math>\ 1\le i\le l</math> קיים <math>k_i\in\mathbb{N}</math> כך ש-<math>x_{k_i}\in O_i</math> (כי <math>\left\{x_k\right\}_{k=1}^\infty</math> צפופה ב-<math>\ K</math>).
כמו-כן הסדרה <math>\left\{g_n\left(x_{k_i}\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ל-<math>\xi_{k_i}</math> לכן לפי תנאי קושי קיים <math>\ N_i</math> כך שלכל <math>\ n,m>N_i</math> מתקיים <math>d\left(g_n\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x_{k_i}\right)\right)<\frac{\varepsilon}{3}</math>
נסמן <math>\ N:=\sup(N_i)</math>.
וכעת, לכל <math>\ n,m>N</math> ולכל <math>x\in K</math> קיים <math>\ 1\le i\le l</math> כך ש-<math>x\in O_i</math> ומתקיים:
<math>d\left(g_n\left(x\right),g_m\left(x\right)\right) \le d\left(g_n\left(x\right),g_n\left(x_{k_i}\right)\right) + d\left(g_n\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x_{k_i}\right)\right) + d\left(g_m\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x\right)\right) < \varepsilon</math>
לכן לפי תנאי קושי הסדרה <math>\left\{g_n\right\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת במידה שווה.
{{קצרמר|מתמטיקה}}
| |||