משפט ארצלה-אסקולי – הבדלי גרסאות

 

 

לצורך הוכחת המשפט נשתמש בניסוח יותר כללי שלו.

 

יהי <math>\ K</math> [[מרחב מטרי]] [[קבוצה קומפקטית|קומפקטי]]. ותהי <math>A\subseteq C\left(K\right)</math> קבוצה סגורה וחסומה (<math>C\left(K\right)</math> הוא מרחב הפונקציות הרציפות על <math>\ K</math>). אזי <math>\ A</math> קומפקטית אם ורק אם אברי <math>\ A</math> רציפים במידה אחידה.

נניח שאברי <math>\ A</math> רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב-<math>\ A</math> יש תת-סדרה מתכנסת (כלומר <math>\ A</math> קומפקטית).