הבדלים בין גרסאות בדף "חילוק באפס"

נוספו 1,623 בתים ,  לפני 9 שנים
אין תקציר עריכה
{{בעבודה}}
[[קובץ:Hyperbola one over x.svg|ממוזער|300px|[[גרף של פונקציה|גרף הפונקציה]] <math>\textstyle \frac{ 1}{ x}</math>. כאשר x שואף לאפס הפונקציה שואפת לאינסוף, והפונקציה אינה מוגדרת באפס.]]
'''חלוקה באפס''' היא ה[[פעולה בינארית|פעולה]] ה[[מתמטיקה|מתמטית]] של [[חילוק|חלוקת]] [[מספר]] במספר [[0 (מספר)|0]], ותוצאתה לרוב אינה מוגדרת. את הפעולה ניתן לרשום בצורה <math>\textstyle\frac{a}{0}</math>.
ניתן להוכיח את אי-ההפיכות של אפס ישירות מהיותו [[איבר היחידה]] החיבורי: בזכות ה[[דיסטריבוטיביות]] של כפל מעל חיבור, לכל <math>\ a</math> מתקיים <math> a\cdot0=a\cdot(0+0)=a\cdot0+a\cdot0</math> ולכן לפי [[כלל הצמצום]] החיבורי (הנובע מכך שלכל איבר יש הופכי חיבורי) <math>\ a\cdot0=0</math>. מכאן שלא קיים איבר כך שמכפלתו באפס תתן 1.
 
==הגדרותגבולות תקפותעם לחלוקהחלוקה באפס==
חלוקה באפס אינה מוגדרת מכיוון שלרוב הגדרת המנה לא תועיל בדבר לחקירה המתמטית ויכולה אף להזיק. אולם בהקשרים מתמטיים מסוימים, נוח להגדיר את תוצאת החלוקה באפס, ואין מניעה לעשות זאת.
 
===גבולות עם חלוקה באפס===
מקרה ידוע ב[[חשבון אינפיניטסימלי]] הוא של [[פונקציה ממשית|פונקציות]] שאינן מוגדרות בנקודה בגלל חלוקה באפס. לדוגמה הפונקציה <math>\ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}</math>. לכל <math>\ x</math> שאינו 1 פונקציה זו היא פשוט ה[[פונקציה לינארית|פונקציה הלינארית]] <math>\ f(x)=x+1</math>. אולם בנקודה <math>\ x=1</math> מתקבלת חלוקה באפס ולכן הפונקציה לא מוגדרת. במקרה הזה נקראת הנקודה [[נקודת אי רציפות|נקודת אי רציפות סליקה]], שכן ניתן להתעלם מהחלוקה באפס ולהגדיר <math>\ f(1)=2</math> ומתקבלת [[פונקציה רציפה]]. מקרה חשוב שכזה הוא בפונקציה <math>\ f(x)=\frac{\sin(x)}{x}</math> בנקודה <math>\ x=0</math>. [[הגבול של sin(x)/x|ניתן להוכיח]] כי נקודה זו היא אי רציפות סליקה וניתן לתקן אותה על ידי ההגדרה <math>\ f(0)=1</math>. לעובדה זו יש חשיבות מכרעת במציאת ה[[נגזרת|נגזרות]] של ה[[פונקציה טריגונומטרית|פונקציות הטריגונומטריות]] וב[[קירוב זוויות קטנות]].
 
לא תמיד חלוקה באפס בפונקציה תתן נקודת אי רציפות סליקה. בנקודות בהן הפונקציה היא מהצורה <math>\textstyle \frac{ a}{ 0}</math> או <math>\textstyle \frac{ \infty}{ 0}</math> (כאשר המונה והמכנה מייצגים את ה[[גבול של פונקציה|גבול]] של הפונקציה במונה והפונקציה במכנה בהתאמה; a שונה מאפס) נקודת אי הרציפות תהיה מ[[נקודת אי רציפות|הסוג השני]] והפונקציה תשאף בנקודות אלו לאינסוף. רק במקרה <math>\textstyle \frac{ 0}{ 0}</math>, אז תיתכן כל תוצאה אפשרית לגבול. במקרה כזה שימושי [[כלל לופיטל]].
 
==בתורת החוגים==
===במבנים אלגבריים אחרים===
את הדיון בחלוקה באפס ב[[מערכות מספרים|מערכות המספרים]] המקובלות ניתן [[הכללה (מתמטיקה)|להכליל]] למבנים נוספים. הדיון מוגבל למבנים בהם יש איבר הדומה לאפס, ופעולה הדומה לחילוק. איבר אנלוגי לאפס נקרא [[איבר אפס]], והוא דומה לאפס במובן שהוא איבר היחידה ביחס לפעולה הדומה לחיבור. המבנה הפשוט והנפוץ ביותר שיש בו איבר אפס ופעולה דמויית כפל שניתן להגדיר בעזרתה חילוק (ככפל בהופכי, כאשר קיים הופכי) הוא [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]]. ההוכחה כי לכל a <math>\ a\cdot0=0</math> תקפה בכל חוג. לכן בחוג לא [[טריוויאלי]] (יש בו יותר מאיבר אחד) איבר האפס עצמו לא יכול להיות איבר היחידה הכפלי ולכן לא קיים לאיבר האפס הופכי. במקרה של החוג הטריוויאלי, הכולל את איבר האפס בלבד שמתפקד גם כאיבר היחידה החיבורי, חלוקה באפס כן מוגדרת והיא מקיימת <math>\textstyle \frac{ 0}{ 0} = 0</math>.
 
באופן כללי בחוג עם יחידה יכולים להיות איברים נוספים שלא ניתן לחלק בהם. האיברים שניתן לחלק בהם נקראים [[איבר הפיך|איברים הפיכים]]. חוג שבו ניתן לחלק בכל איבר מלבד איבר האפס נקרא [[חוג עם חילוק]].
 
==הגדרת חילוק באפס==
חלוקה באפס אינה מוגדרת מכיוון שלרוב הגדרת המנה לא תועיל בדבר לחקירה המתמטית ויכולה אף להזיק. אולם בהקשרים מתמטיים מסוימים, נוח להגדיר את תוצאת החלוקה באפס, ואין מניעה לעשות זאת.
 
ה[[מרחב פרויקטיבי#מרחבים פרויקטיביים ממשיים|ישר הפרויקטיבי הממשי]] הוא [[הישר הממשי]] שנוספת לו נקודה נוספת <math>\ \infty</math>. הנקודה הנוספת היא אינסוף חסר [[סימן (אריתמטיקה)|סימן]] (כלומר לא ניתן להגיד שהוא גדול מכל החיוביים או קטן מכל השליליים). במקרה כזה אינסוף הוא הופכי של אפס ולכל a מתקיים <math>\textstyle \frac{ a}{ 0} = \infty</math> וכן <math>\textstyle \frac{ a}{ \infty} = 0</math>, מלבד <math>\textstyle \frac{ 0}{ 0}</math> ו-<math>\textstyle \frac{ \infty}{ \infty}</math> שאינם מוגדרים. במובנים רבים הישר הפרויקטיבי הממשי מקלקל את המבנה של המספרים הממשיים, ובפרט הם מפסיקים להיות [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]. בנוסף הוספת אינסוף יוצרת עוד פעולות רבות לא מוגדרות וחילוק כבר אינו הפוך לגמרי לכפל (למשל <math>\ \infty \cdot 0</math> לא מוגדר).
 
מבנה דומה ושימושי הנוצר מהוספת אינסוף ל[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]] הוא [[הספירה של רימן]].
 
==ראו גם==