פונקציית רימן – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←הוכחה: קוסמטיקה |
מ ←הוכחה: החזרת מספר משפטים שהושמטו |
||
שורה 26:
נוכיח כי הפונקציה [[פונקציה רציפה|רציפה]] בכל נקודה [[מספר אי רציונלי|אי-רציונלית]], ואינה רציפה באף נקודה [[מספר רציונלי|רציונלית]] על הישר.
יהי <math>x_0=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}</math>, כאשר <math>\,p,q</math> שלמים זרים ו-<math>\,q>0</math>. מכאן ש-<math>f(x_0)=\frac{1}{q}</math>. נראה כי <math>\,f</math> אינה רציפה ב-<math>\,x_0</math>. קבוצת המספרים האי-רציונלים [[קבוצה צפופה|צפופה]] ב[[הישר הממשי|ישר הממשי]], לכן יש סדרה <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> של מספרים '''אי רציונלים''' המקיימת <math>x_n\to x_0</math>. לכל <math>\,n</math> מתקיים <math>\,f(x_n)=0</math>,
כעת נניח ש-<math>\,
# <math>\ x=r=\frac{p}{q}</math> הוא שבר מצומצם שמרחקו מ-<math>\,x_0</math> קטן מ-<math>\ \delta</math>, אז <math>\,q</math> לא יכול לחלק את <math>\,M</math>, ולכן <math>\ q>N</math> ו-<math>\ f(r)=\frac{1}{q}<\frac{1}{N}<\varepsilon</math>, כלומר, אם <math>\,|r-x_0|<\delta</math> אזי <math>|f(r)-f(x_0)|<\varepsilon</math>, כדרוש.
כלומר הראינו כי בכל מקרה, אם <math>\,|x-x_0|<\delta</math> אזי <math>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math>, ומכאן ש-<math>\,f</math> רציפה ב-<math>\,x_0</math>.
==ראו גם==
|