פונקציית רימן – הבדלי גרסאות

יהי <math>x_0=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}</math>, כאשר <math>\,p,q</math> שלמים זרים ו-<math>\,q>0</math>. מכאן ש-<math>f(x_0)=\frac{1}{q}</math>. נראה כי <math>\,f</math> אינה רציפה ב-<math>\,x_0</math>. קבוצת המספרים האי-רציונלים [[קבוצה צפופה|צפופה]] ב[[הישר הממשי|ישר הממשי]], לכן יש סדרה <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> של מספרים '''אי רציונלים''' המקיימת <math>x_n\to x_0</math>. לכל <math>\,n</math> מתקיים <math>\,f(x_n)=0</math>, ולכןומכאן <math>\lim_{n\to\infty} f(x_n)=0\ne f(x_0)=\frac{1}{q}</math>, ולכן לפי הגדרת ה[[רציפות]] לפי היינה, הפונקציה אינה רציפה ב-<math>\,x_0</math>.

כעת נניח ש-<math>\,xx_0</math> מספר אי-רציונלי; נראה שהפונקציה רציפה ב- <math>\,xx_0</math>. נשתמש בהגדרת ה[[רציפות]] לפי קושי. יהי <math>\varepsilon>0</math>. יש למצוא <math>\,\delta>0</math> אזכך שאם <math>x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)</math> אזי <math>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. קיים <math>\,N</math> שלם כך ש-<math>0 < \frac{1}{N} < \varepsilon</math>. נסמן <math>\ M=N!</math> (פונקצית ה[[עצרת]]). מכיוון ש-<math>\,xx_0</math> אינו רציונלי, קיים <math>\ \delta>0</math> כך שהמרחק מ-<math>\,xx_0</math> לכל שבר מהצורה <math>\ \frac{k}{M}</math> עם <math>\,k</math> שלם, גדול מ-<math>\ \delta</math>. כעתיהי נניח ש-<math>\ r=,x\fracin\mathbb{p}{qR}</math> הואהמקיים שבר מצומצם שמרחקו מ-<math>\,|x</math> קטן מ-x_0|<math>\ \delta</math>,. אזייתכנו <math>\,q</math> לא יכול לחלק את <math>\,M</math>, ולכן <math>\ q>N</math>שתי אפשרויות:

ו-# <math>\ f(r)=,x\frac{1}{q}<notin\fracmathbb{1Q}{N}<\varepsilon</math>. הראינו שאםואז <math>\,|r-f(x|<\delta)=0</math>, אזיומכאן <math>|f(rx)-f(x_0)|=0<\varepsilon</math>, כדרוש.