הוכחת האי-מנייה הראשונה של קנטור – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 1:
'''צריך-להחליט-על-שם''' היא [[הוכחה|הוכחתו]] של [[גאורג קנטור]] משנת [[1874]] כי [[כמעט כל]] ה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]] הם [[מספר טרנסצנדנטי|מספרים טרנסצנדנטים]]. הכלים ששימשו את קנטור לשם ההוכחה שימשו אותו מאוחר יותר לביסוס [[תורת הקבוצות]] אותה הגה. להוכחה של קנטור חשיבות רבה במסגרת תורה זו, שכן היא ההוכחה הראשונה לקיומה של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] שאינה [[קבוצה בת מנייה|בת מנייה]]. את אותה טענה הוכיח קנטור מאוחר יותר באמצעות טיעון [[האלכסון של קנטור]] שהיא ההוכחה המופרסמת יותר כיום.
 
==ההוכחה==
שורה 5:
* חלק ראשון: הוכחה כי ניתן לסדר את ה[[מספר אלגברי|מספרים האלגבריים]] ב[[סדרה]]. בניסוח מודרני המשמעות היא שקיימת [[התאמה חד-חד-ערכית ועל]] בין המספרים האלגבריים ל[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]], כלומר קבוצת המספרים האלגבריים היא בת מנייה.
* חלק שני: הוכחה כי לא ניתן לסדר את כל המספרים הממשיים ב[[קטע]] כלשהו בסדרה. בניסוח מודרני, קבוצת המספרים הממשיים אינה בת מנייה.
* מסקנה: בכל קטע רובקיימים המספריםמספרים אינםשאינם אלגבריים (ולכן טרנסצנדנטים), ובמובן מסוים הם רוב, מכיוון שעל אף שניתן לסדר את כל המספרים האלגבריים בקטע בסדרה, לא ניתן לעשות זאת לכל המספרים בקטע.
 
===המספרים האלגבריים בני מנייה===
שורה 12:
 
לכל מספר טבעי נתון יש רק מספר סופי של פולינומים שהמספר הוא גובהם (יש רק מספר סופי של קומבינציות כך שמעלת הפולינום וכל אחד מן המקדמים יהיו קטנים מהמספר בערכם המוחלט). לכל פולינום יש מספר סופי של [[שורש (של פונקציה)|שורש]]ים (לכל היותר מספרם כמעלת הפולינום) ולכן קבוצת השורשים של כל הפולינומים מגובה מסוים היא סופית. את הקבוצת השורשים מסדרים עתה בסדרה לפי גובה כאשר שורשים של פולינומים מאותו גובה מסדרים לפי גודל. הסדרה שנוצרה מכילה את כל המספרים האלגבריים (שכן כולם שורשים של פולינום כלשהו) ולכן המספרים האלגבריים הם בני מנייה.
 
===המספרים הממשיים אינם בני מנייה===
בחלק זה מראה קנטור שלכל סדרה של מספרים ממשיים בקטע נתון ניתן למצוא מספר בקטע שלא נמצא בסדרה ולכן לא קיימת סדרה של כל הממשיים בקטע. לכל סדרה נתונה שכזו <math>\left\{x_n\right\}</math> בקטע <math>\ [a,b]</math> מגדיר קנטור סדרת קטעים באופן הבא: נסמן ב-<math>\ a_1</math> וב-<math>\ b_1</math> את שני המספרים הראשונים בסדרה שנמצאים בפנימו של הקטע <math>\ [a,b]</math> כך שמתקיים <math>\ a<a_1<b_1<b</math>. המספרים <math>\ a_2, b_2</math> יהיו המספרים הבאים בסדרה שנמצאים בפנימו של <math>\ [a_1,b_1]</math>, כלומר <math>\ a_1<a_2<b_2<b_1</math>. ממשיכים בתהליך הזה עד אינסוף ב[[הגדרה רקורסיבית|אינדוקציה]]: <math>\ a_{n+1}, b_{n+1}</math> הם המספרים הבאים בסדרה המקיימים <math>\ a_n<a_{n+1}<b_{n+1}<b_n</math>.
 
ייתכנו שתי תוצאות לתהליך: אפשרות ראשונה היא כי בשלב כלשהו התהליך ייעצר כי לא יימצאו בסדרה שני מספרים ששייכים לפנימו של קטע מסדרת הקטעים. במקרה כזה מתקבל קטע סופי <math>\ [a_N, b_N]</math> שאין אף איבר סדרה בפנימו מלבד אולי איבר אחד, וכל איבר בפנים הקטע מלבדו בהכרח לא מופיע בסדרה.
 
אפשרות שנייה היא כי התהליך לא ייעצר לעולם. במקרה כזה קיים [[גבול של סדרה|גבול]]: <math> A = \lim_{n \to \infty}a_n</math> כי זוהי [[סדרה מונוטונית]] עולה ו[[סדרה חסומה|חסומה]]. בשלב זה יכול היה קנטור לסיים את ההוכחה בהבחנה כי <math>\ A</math> נמצא בתוך כל קטע מהצורה <math>\ [a_n,b_n]</math> בעוד האיבר <math>\ x_n</math> בסדרה. לא נמצא בפנימו של הקטע <math>\ [a_n, b_n]</math> ולכן <math>\ A</math> לא נמצא בסדרה. במקום זאת מפצל קנטור את המקרה הזה לשני תתי-מקרים:
 
קנטור מגדיר את <math> B = \lim_{n \to \infty}b_n</math>.
* אם <math>\ B=A</math> אז הוא נמצא כאמור בכל קטע ולכן לא מופיע בסדרה. קנטור מבחין כי זה מה שמתרחש במקרה בו <math>\left\{x_n\right\}</math> היא סדרת האלגבריים אותה הגדיר בחלק הראשון בהוכחה.
* אם <math>\ B>A</math> הרי שכל איבר בקטע <math>\ [A,B]</math> לא מופיע בסדרה.
 
[[en:Cantor's first uncountability proof]]