מסילה גאודזית – הבדלי גרסאות

ניתן למצוא את ה[[מסילה (מתמטיקה)|מסילה]] הקצרה ביותר בין שתי נקודות במרחב עקום על ידי כתיבת משוואת אורך הקו לפי פרמטר כלשהו, ואז למצוא את המינימום של משוואה זו על ידי [[חשבון וריאציות]].

 

 

 

במרחב שטוח, הגיאודיזה מהווה את המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות. עקום γ: ''I'' → ''M'' מאינטרוול I מעל הממשיים אל המרחב המטרי M הוא גיאודיזה, אם קיים קבוע ''v'' ≥ 0 כך שלכל ''t'' ∈ ''I'' קיימת סביבה ''J'' של ''t'' ב-''I'' כך שלכל ''t''₁, ''t''₂ ∈ ''J'' מתקבל

אם שויון זה מתקבל עבור כל ''t''₁, ''t''₂ ∈''I'', גיאודיזה זו מהווה את ה"מסלול הקצר ביותר".

 

 

ב[[יריעה רימאנית]] עם [[טנסור מטרי]] ''g'', האורך של מסילה גזירה ברציפות γ :  [''a'',''b''] → ''M'' מוגדר על ידי

:<math>L(\gamma)=\int_a^b \sqrt{ g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t)) }\,dt.</math>

המרחק <math>\,d(p,q)</math> בין שתי נקודות ''p'' ו-''q'' ב-''M'' מוגדר כ[[אינפימום]] של כל אורכי המסילות האפשריות הגזירות ברציפות למקוטעין γ&nbsp;:&nbsp;[''a'',''b'']&nbsp;→&nbsp;''M'' כך ש-γ(''a'')&nbsp;=&nbsp;''p'' ו-γ(''b'')&nbsp;=&nbsp;''q''.

 

[[קטגוריה:גאומטריה]]