גאומטריה היפרבולית – הבדלי גרסאות

הדרך הטובה ביותר להשתכנע שהתורה החדשה [[עקביות (מתמטיקהלוגיקה)|עקבית]], כלומר, שאין בה סתירות, היא לבנות [[מודל (מתמטיקה)|מודל]] שלה במסגרת תאוריה אחרת, מקובלת יותר. פירושו של דבר הוא שבמסגרת התאוריה הוותיקה, בוחרים קבוצה שתייצג את המישור ההיפרבולי, ומאפיינים את הנקודות ואת הקוים הישרים במישור זה. כל שנדרש מן המודל הוא שהקוים והנקודות שלו יקיימו את האקסיומות של התורה החדשה. אם קיים מודל כזה, אז העקביות של התאוריה החדשה נובעת מזו של התאוריה הישנה.

באופן צפוי (אך אירוני), המודלים המקובלים לגאומטריה ההיפרבולית הם במסגרת הגאומטריה האוקלידית. יש להבין שקיומם של מודלים כאלה מוכיח כי '''אם''' הגאומטריה האוקלידית עקבית, הרי שבהכרח תכונה זו חלה על הגאומטריה ההיפרבולית. זו כשלעצמה הוכחה שאקסיומת המקבילים (האוקלידית) [[כריעותעצמאות (מתמטיקהלוגיקה מתמטית)|בלתי תלויה]] באקסיומות הגאומטריות האחרות. (העקביות של הגאומטריה האוקלידית עצמה נשענת על העקביות של [[תורת הקבוצות האקסיומטית|תורת הקבוצות]], דרך המודל הסטנדרטי של [[המרחב האוקלידי]]).