|
במתמטיקהב[[מתמטיקה]], '''משפט גלפונד -שניידר''' הוא [[23משפט הבעיות(מתמטיקה)|משפט]] שלהקובע הילברט|תחת אילו תנאים העלאת [[מספר אלגברי]] בחזקת מספר אלגברי נותנת [[מספר טרנסצנדנטי]]. המשפט עונה בחיוב על [[הבעיה השביעית של הילברט]]. והואהמשפט הוכח על ידי ה[[מתמטיקאי]] ה[[רוסי]] [[אלכסנדר גלפונד]] (Gelfond)בשנת ו[[תיאודור שניידר1934]] (Schneider) באופןובאופן בלתי תלוי על ידי המתמטיקאי ה[[גרמני]] [[תאודור שניידר]] בשנת 1934[[1935]].<br />
המשפט קובע שאםכי שניאם <math>\ a, b</math> [[מספרים אלגבריים כך ש-<math>\ a\ne0,1</math>, ו-<math>\ b</math> [[מספר אי-רציונלי|אי-רציונלי]], אז <math>\ a,^b</math> טרנסצנדנטי. כאשר:
* a שונה מ-0 ומ-1
* b [[אי-רציונלי]]
אז <math>a^b</math> הוא [[מספר טרנסצנדנטי]].
==תנאי המשפט==
==דוגמאות שימוש==
*המשפט לא מוגבל ל[[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] ותקף גם ל[[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]]. במספרים מרוכבים חזקה היא [[פונקציה רב-ערכית]] וייתכן יותר מערך אחד ל-<math>\ a^b</math>. המשפט תקף לכל ערך נבחר.
* המספר <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> הוא כמובן טרנסצנדנטי.
*המשפט קובע [[תנאי מספיק|תנאים מספיקים]] לכך שאלגברי בחזקת אלגברי יהיה טרנסצנדנטי. עוד קודם לכן היה ידוע כי אלו גם [[תנאי הכרחי|תנאים הכרחיים]]:
* המספר <math>e^{\pi}</math>, המכונה [[קבוע גלפונד]] גם הוא טרנסצנדנטי כי:
**אם <math>\ a=0</math> או <math>\ a=1</math> אז <math>\ 0^b=0</math> ו-<math>\ 1^b=1</math> בהתאמה, ולכן התוצאה אלגברית.
<math>e^{\pi}=(e^{i\pi})^{-i}</math>
**אם <math>\ b=\tfrac pq</math> [[מספר רציונלי|רציונלי]] אז מכיוון ש[[שדה המספרים האלגבריים]] [[שדה סגור אלגברית|סגור אלגברית]], גם <math>\ a^b = \sqrt[q]a^p</math> אלגברי.
ועל פי [[זהות אוילר]]: <math>e^{i\pi}=-1</math> ולכן קבוע גלפונד הוא בעצם: <math>(-1)^{-i}</math>
*ההגבלה כי <math>\ b</math> יהיה אלגברי הכרחית גם היא. אם רק נדרוש רק כי <math>\ b</math> יהיה אי-רציונלי קל למצוא [[דוגמה נגדית]] למשפט: <math>\ 3^{\log_32}=2</math>.
ומכאן על פי משפט גלפונד-שניידר (<math>-i</math> הוא פתרון של המשוואה <math>x^2+1=0</math>), קבוע גלפונד טרנסצנדנטי.
== הערות השלכות==
משפט גלפונד-שניידר משמש להוכחת הטרנסצנדנטיות של קבוצה רחבה של מספרים. דוגמאות מפורסמות כוללות את:
* המספרים a,b הם לאו דווקא [[מספר ממשי|ממשיים]], הם יכולים להיות [[מספר מרוכב|מרוכבים]].
*קבוע גלפונד-שניידר, <math>2^\sqrt2</math> וה[[שורש (מתמטיקה)|שורש]] שלו, <math>\ \sqrt2^\sqrt2</math>.
* אם a,b הם לא ממשיים אז ל-<math>a^b</math> יש אינסוף פתרונות, כל אחד מהם טרנסצנדנטי.
*קבוע גלפונד, <math>\ e^{\pi} = \left( e^{i \pi} \right)^{-i} = (-1)^{-i}</math> (לפי [[זהות אוילר]]).
* המשפט [[יחס שקילות|אקויוולנטי]] (כלומר זהה) למשפט: אם a,c הם מספרים אלגבריים ו-m הוא מספר השונה מ-0 ומ-1, אז
*<math>\ i^i = \left( e^{i \pi / 2} \right)^i = \frac1{\sqrt{e^\pi}}</math> (לפי זהות אוילר).
<math>\frac{log_m c}{log_m a}</math> הוא טרנסצנדנטי או רציונלי (אבל לא אי-רציונלי אלגברי) כי על פי [[לוגריתם|חוקי הלוגריתמים]] <math>\frac{log_m c}{log_m a}=log_{a} c</math>. אם נסמן <math>b=log_{a} c</math> אז מתקיים על פי הגדרת הלוגריתם <math>a^b=c</math>, אבל מכיוון ש-a אלגברי, אז אם b אלגברי אי רציונלי - על פי המשפט - c טרנסצנדנטי והגענו ל[[סתירה]].
*לפי המשפט אם <math>\ a, c</math> אלגבריים אז <math>\ \log_ac = \frac{\log{c}}{\log{a}}</math> טרנסצנדנטי או רציונלי (אחרת <math>\ a^{\log_ac}=c</math> דוגמה נגדית למשפט). למשל <math>\ \log_32</math> אינו רציונלי (נובע מכך ש-2 ו-3 [[מספר ראשוני|ראשוניים]]), ולכן טרנסצנדנטי.
==ראו גם==
[[קטגוריה:מתמטיקה]]
* [[משתמש:דניאל ב./לינדמן|משפט לינדמן-ויירשטראס]]
[[קטגוריה:הבעיות של הילברט]]
[[קטגוריה:מספרים טרנסצנדנטיים]]
[[en:Gelfond–Schneider theorem]]
[[de:Satz von Gelfond-Schneider]]
[[es:Teorema de Gelfond-Schneider]]
[[fr:Théorème de Gelfond-Schneider]]
[[it:Teorema di Gelfond]]
[[ja:ゲルフォント＝シュナイダーの定理]]
[[ko:겔폰트-슈나이더 정리]]
[[nl:Stelling van Gelfond-Schneider]]
[[pl:Twierdzenie Gelfonda-Schneidera]]
[[pt:Teorema de Gelfond-Schneider]]
[[sv:Gelfond–Schneiders sats]]
[[vi:Định lý Gelfond-Schneider]]
[[zh:格尔丰德－施奈德定理]]
| 