|
ב[[אנליזה דיופנטית]], '''משפט ליוביל''' הוא ה[[הוכחה]] הראשונה לקיומם של [[מספר טרנסצנדנטי|מספרים טרנסצנדנטיים]]. המשפט קובע כי כלשאם [[מספר אלגברי]] [[מספר אי-רציונלי|אי-רציונלי]] מדרגהמהווה שורש לפולינום ממעלה n (מעלתמעל ה[[פולינוםחוג מינימלי|פולינוםהמספרים המינימליהשלמים|השלמים]], שלו)אז אינולא ניתן ללקרב אותו [[קירוב דיופנטי|קירוב מסדר]] מסדרהעולה גדולעל מ-n. מכיווןמכאן שקיימיםשמספרים לא רציונליים הניתנים לקירוב מכל סדר הם [[מספר טרנסצנדנטי|טרנסצנדנטיים]]. ליוביל בנה מספרים כאלה, הנקראים [[מספר ליוביל|מספרי ליוביל]], הניתניםובכך לקירובהוכיח מכלבפעם סדרהראשונה שהוא,שקיימים הם בהכרחמספרים טרנסצנדנטיים.
את המשפט הוכיח [[ז'וזף ליוביל]] בשנת [[1844]].
==הגדרות==
מספר טרנסצנדנטי הוא מספר שאינו אלגברי, כלומר אינו [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של אף [[פולינום]] במקדמים [[מספר שלם|מספרים שלמים]] (השקולולכן לדרישהגם כיאינו המקדמיםשורש יהיולאף [[מספרפולינום במקדמים רציונלי|רציונליים]]).
'''מספר ליוביל''' הוא [[מספר ממשי]] <math>\ x</math> המקייםכזה שלכל n קיימים p ו-q>1 שלמים כך שמתקיים:ש- <math>\ 0< \left |x- \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^{n}} </math>.
:<math>\ 0< \left |x- \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^{n}} </math>
דוגמה למספר שכזה תנתן בהמשך. קל לראות כי כלשכל מספר ליוביל הוא אי-רציונלי.: [[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי <math>\ \frac{a}{b}</math> מספר ליוביל רציונלי. אז נבחר n גדול מספיק, כך ש-<math>\ 2^{n-1}>b</math>, ונזכורואז כי<math>\ \left| \frac{a}{b} - \frac{p}{q} \right| = \left| \frac{aq-bp}{bq} \right|\ge \frac{1}{bq} > \frac{1}{2^{n-1}q} \ge \frac{1}{q^n}</math> משום ש-<math>\ q\ge 2</math>, ולכן:בסתירה להגדרה.
:<math>\ \left| \frac{a}{b} - \frac{p}{q} \right| = \left| \frac{aq-bp}{bq} \right|\ge \frac{1}{bq} > \frac{1}{2^{n-1}q} \ge \frac{1}{q^n}</math>
בסתירה להגדרה.
==הוכחת המשפט==
==הוכחה==
בשלב הראשון של ההוכחה נוכיח [[למה (מתמטיקה)|למה]] שימושית.
'''למה:''' לכל <math>\ \alpha</math> אי-רציונלי שהוא שורש של פולינום <math>\ f</math> ממעלה <math>\ n>0</math>, קיים <math>\ A</math> חיובי כך שלכל <math>\ p</math> ו-<math>\ q>0</math> שלמים, מתקיים:<math>\ \left\vert \alpha - \frac{p}{q} \right\vert > \frac{A}{q^n} </math>.
:<math>\ \left\vert \alpha - \frac{p}{q} \right\vert > \frac{A}{q^n} </math>
'''הוכחה:''' אפשר להניח ש-f [[פולינום ספרבילי|ספרבילי]]. נגדיר <math>\ M=\max|f'(x)|</math> בקטע <math>\ [\alpha-1,\alpha+1]</math> (הואהמקסימום קיים לפי [[משפט ויירשטראס השני]]). נסמן ב-<math>\ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m</math> את השורשים השונים של <math>\ f</math> השונים מ-<math>\ \alpha</math>. נבחר <math>\ A</math> המקיים:
:<math>0< A< \min \left(1, \frac{1}{M}, \left\vert \alpha - \alpha_1 \right\vert, \left\vert \alpha - \alpha_2 \right\vert, \ldots , \left\vert \alpha-\alpha_m \right\vert \right) </math>
נניח בשלילה כי קיים <math>\ p/q</math> הסותר את הלמה. מתקיים:
האי-שוויונות נובעים מהגדרת <math>\ M</math> ו-<math>\ A</math>. הגענו לסתירה ולכן ההנחה שגויה והלמה הוכחה.
'''משפט'''. כל מספר ליוביל הוא טרנסצנדנטי.
===שלב סופי===
יהי <math>\ x</math> מספר ליוביל. נניח בשלילה כי <math>\ x</math> אלגברי. הוכחנו כי מספר ליוביל הוא אי-רציונלי ולכן לפי הלמה קיימים <math>\ A, n</math> כך שלכל <math>\ p/q</math>:
:<math>\ \left\vert x - \frac{p}{q} \right\vert > \frac{A}{q^{n}} </math>
'''הוכחה'''. נניח בשלילה שמספר ליוביל <math>\ x</math> הוא אלגברי, ממעלה n. הוכחנו שהוא אינו רציונלי, ולכן, לפי הלמה, קיימים <math>\ A, n</math> כך שלכל <math>\ p/q</math> מתקיים <math>\ \left\vert x - \frac{p}{q} \right\vert > \frac{A}{q^{n}} </math>. נבחר <math>\ m</math> כך ש-<math>\ 1/2^m<A</math>. לפי הגדרת מספר ליוביל קיים <math>\ p/q</math> כך שמתקיים : <math>\left|x-\frac pq\right|<\frac1{q^{m+n}}=\frac1{q^mq^n} \le \frac1{2^m}\frac1{q^n} \le \frac A{q^n} </math>, וזו סתירה ללמה.
: <math>\left|x-\frac pq\right|<\frac1{q^{m+n}}=\frac1{q^mq^n} \le \frac1{2^m}\frac1{q^n} \le \frac A{q^n} </math>
בסתירה ללמה. לכן ההנחה כי <math>\ x</math> אלגברי שגויה וכל מספר ליוביל בהכרח טרנסצנדנטי.
==מספרי ליוביל==
המשפט מראה כי כלשכל מספר ליוביל הוא טרנסצנדנטי ולכן. כדי להראות כי קיימים מספרים טרנסצנדנטיים מספיק לתת דוגמה למספר ליוביל. הדוגמה המוכרת ביותר היא '''קבוע ליוביל''':
:<math>\ c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots</math>
ה[[ספרה]] 1 מופיעה ב[[השיטה העשרונית|פיתוח העשרוני]] של המספר במקום ה-<math>\ j!</math> לאחר הנקודה העשרונית לכל j טבעי (ראו [[עצרת]]) ובכל מקום אחר מופיעה הספרה 0.
:<math>\left|c - \frac{p_n}{q_n}\right| = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} - \sum_{j=1}^n 10^{-j!} = \sum_{j=n+1}^\infty 10^{-j!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + {} \cdots < 10\cdot10^{-(n+1)!} \le \Big(10^{-n!}\Big)^n = \frac{1}{{q_n}^n}</math>
מכאן שקבוע ליוביל הוא מספר ליוביל, ולכןוזו הדוגמה הראשונה הידועה למספר טרנסצנדנטי.
במקום כל ספרה 1 בפיתוח העשרוני של קבוע ליוביל ניתן לשים כל ספרה אחרת שאינה 0 והמספר יוותר מספר ליוביל. מכיוון שיש אינסוף מופעים של 1 בפיתוח, ניתן להחליפם בכל סדרת ספרות שונות מאפס, ולכן יש אינסוף מספרי ליוביל ו[[עוצמה|עוצמתםעוצמת]] הקבוצה של מספרי ליוביל היא [[עוצמת הרצף]]. עם זאת קיימים מספרים טרנסצנדנטיים שאינם מספרי ליוביל. למעשה, אוסף מספרי ליוביל הוא [[קבוצה ממידה אפס]], בעוד [[משתמש:דניאל ב./קנטור|קנטור הוכיח]] כי [[כמעט כל]] המספרים הם טרנסצנדנטיים. לכן כמעט כל המספרים הטרנסצנדנטיים אינם מספרי ליוביל.
==הכללות==
| 