משפט לינדמן-ויירשטראס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ משפט לינדמן-ויירשטרס הועבר למשפט לינדמן-ויירשטראס: אופס |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''משפט לינדמן-ויירשטראס''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] מרכזי בחקר ה[[מספר טרנסצנדנטי|מספרים הטרנסצנדנטיים]]. המשפט קובע כי אם <math>\ \alpha_1,\ldots, \alpha_n</math> [[מספר אלגברי|מספרים אלגבריים]] [[תלות לינארית|בלתי תלויים לינארית]] מעל [[שדה המספרים הרציונליים]] <math>\ \mathbb{Q}</math>, אז <math>\ e^{\alpha_1},\ldots, e^{\alpha_n}</math> [[אי תלות אלגברית|בלתי תלויים אלגברית]] מעל <math>\ \mathbb{Q}</math>. בפרט, <math>\ e^\alpha</math> טרנסצנדנטי לכל <math>\ \alpha</math> אלגברי שונה מאפס (e הוא [[e (קבוע מתמטי)|בסיס הלוגריתם הטבעי]]). המקרה הפרטי לבדו קרוי '''משפט לינדמן'''.
בניסוח שקול המשפט אומר שתחת התנאים המצוינים [[דרגת הטרנסצנדנטיות]] של <math>\ \mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\ldots, e^{\alpha_n})</math> מעל <math>\ \mathbb{Q}</math> היא n. ניתן להוכיח גם כי המשפט שקול לטענה שתחת התנאים המצוינים <math>\ e^{\alpha_1},\ldots, e^{\alpha_n}</math> בלתי תלויים לינארית מעל [[שדה המספרים האלגבריים]].
שורה 8:
בשנת [[1844]] הוכיח [[ז'וזף ליוביל]] את [[משפט ליוביל (קירוב דיופנטי)|משפט ליוביל]] שהוכיח לראשונה את קיומם של המספרים הטרנסצנדנטיים ונתן דוגמה ראשונה למספר שכזה ([[קבוע ליוביל]]). בשנת [[1873]] הוכיח [[שארל הרמיט]] כי [[טרנסצנדנטיות של e|e מספר טרנסצנדנטי]]. היתה זו הוכחת הטרנסצנדנטיות הראשונה למספר שלא נבנה לצורך זה מראש. הרמיט הצליח [[הכללה (מתמטיקה)|להכליל]] את הוכחתו כך שתוקפה הורחב גם לחזקות מסוימות של e.
בשנת [[1882]], בהתבסס על הטכניקות שפיתח הרמיט, הצליח [[פרדיננד לינדמן]] להוכיח
בשנת [[1885]] הכליל [[קארל ויירשטראס]] את הוכחתו של לינדמן והוכיח את הגרסה המלאה של המשפט. מאז פרסום המשפט פישטו [[מתמטיקאי]]ם שונים את ההוכחה, כאשר הפישוט המשמעותי ביותר נעשה על ידי [[דויד הילברט]].
| |||