הבעיות הגאומטריות של ימי קדם – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 28:
שטחו של מעגל שווה ל-πR<sup>2</sup>, כלומר [[רדיוס|רדיוסו]] בחזקה שנייה כפול [[פאי]], ושטחו של ריבוע הוא <math>\ x^2 </math>, כלומר צלעו בחזקה שנייה. מכך מתקבל שעלינו לבנות קטע שאורכו הוא הרדיוס כפול שורש פאי. מתכונותיו של [[שדה המספרים הניתנים לבנייה]] נגזר שאם ניתן לבנות קטע באורך <math>\pi</math> ניתן גם לבנות קטע באורך <math>\ \sqrt{\pi}</math>, ולהיפך.
בשנת [[1882]] הוכיח [[פרדיננד לינדמן]] את [[משפט לינדמן]] שקובע שעבור כל α [[מספר אלגברי|אלגברי]] שאינו 0, <math>\,e^{\alpha}</math> הוא [[מספר טרנסצנדנטי]]
, ולכן 1- הוא טרנצנדנטי, מה שבבירור לא נכון. מכאן נובע ש-<math>\pi</math> ([[פאי]]) הוא [[מספר טרנסצנדנטי]]. מהוכחה זו נובע שלא ניתן לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון, משום שבבנייה באמצעות סרגל ומחוגה בלבד לא ניתן לבנות יחס טרנסצנדנטי.
| |||