הוכחת האי-מנייה הראשונה של קנטור – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 14:
===המספרים האלגבריים בני מנייה===
ראשית קנטור מגדיר את ה"גובה" של [[פולינום]] כלשהו עם מקדמים [[מספר שלם|שלמים]] ומעלה חיובית להיות הסכום של [[מעלה (פולינום)|מעלת]] הפולינום עם הערכים המוחלטים מקדמיו, פחות אחד:
:<math>\ \textoperatorname{height }(P(x)) = n+|a_n|+|a_{n-1}|+\ldots +|a_0| - 1;\quad P(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_0</math>
 
לכל מספר טבעי נתון יש רק מספר סופי של פולינומים שהמספר הוא גובהם (יש רק מספר סופי של קומבינציות כך שמעלת הפולינום וכל אחד מן המקדמים יהיו קטנים מהמספר בערכם המוחלט). לכל פולינום יש מספר סופי של [[שורש (של פונקציה)|שורש]]ים (לכל היותר מספרם כמעלת הפולינום) ולכן קבוצת השורשים של כל הפולינומים מגובה מסוים היא סופית. את הקבוצת השורשים מסדרים עתה בסדרה לפי גובה כאשר שורשים של פולינומים מאותו גובה מסדרים לפי גודל. הסדרה שנוצרה מכילה את כל המספרים האלגבריים (שכן כולם שורשים של פולינום כלשהו) ולכן המספרים האלגבריים הם בני מנייה.