ממוצע אריתמטי-גאומטרי – הבדלי גרסאות

לממוצע האריתמטי-גאומטרי כמה תכונות חשובות: הפונקציה <math>\ M</math> [[פונקציה הומוגנית|הומוגנית]] (כלומר, <math>\ M(\lambda a,\lambda b) = \lambda M(a,b)</math>; לכן, אם מגדירים <math>\ f(x) = M(1,x)</math>, אפשר לשחזר את <math>\ M</math> לפי הזהות <math>\ M(a,b)=a\cdot f(b/a)</math>. בנוסף לזה, מן ההגדרה נובע כי <math>\ M(a,b) = M(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab})</math>; במלים אחרות, <math>\ f(x) = \frac{1+x}{2} \cdot f(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})</math>.

 

<math>\ \frac{1}{M(1,x)} = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-(1-x^2)\sin^2\theta}}</math>, ובכך הניח את היסוד לעבודתם של [[נילס הנריק אבל|אבל]] ו[[קרל גוסטב יעקב יעקובי|יעקובי]] על אינטגרלים של [[פונקציה אלגברית|פונקציות אלגבריות]].