|
ב[[גיאומטריה אוקלידית]], '''משפט מנלאוס''' נותן תנאי הכרחי ומספיק לשלושהלכך ששלוש נקודות שיהיו על קוצלעות ישר אחדמשולש, בהינתןאו משולשהמשכיהן, שכלתהיינה נקודה נמצאתמונחות על צלע[[קו אוישר|ישר]] המשך צלע שלואחד.
[[File:Menelaos's theorem 1.png|thumb|מקרה 1: שתי נקודות על הצלעות ונקודה שלישית בהמשך הצלע השלישית]]
[[File:Menelaos's theorem 2.png|thumb|מקרה 2: כל הנקודות על המשכי הצלעות]]
עפ"י המשפט, קובע (לפי הסימונים שבשרטוטים בצד שמאל) הנקודותשהנקודות D,E,F על ישר אחד (בשרטוט - הישר הסגול) אם ורק אם מתקיים:
<math>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = -1</math>
(כאשר היחסים הםמסומנים עםעל-פי סימןהכיוון).
==הוכחה==
נעשהנטיל הטלהאת של כלשלוש הנקודות לישר המאונך לישר DE,; ונסמןנסמן כל נקודה בהיטל באות של הנקודה המקורית עם תג ('). על-פי [[משפט תאלס]], משפט מנלאוס שאנו רוצים להוכיח שקול לקביעה ש-D',ו-F' מתלכדות אם ורק אם <math>\frac{A'F'}{F'B'} \cdot \frac{B'D'}{D'C'} \cdot \frac{C'D'}{D'A'} = -1</math>, ונוסחה זו שקולה ל <math>\frac{A'F'}{F'B'} \cdot \frac{B'D'}{D'A'} = 1</math>, השקולה ל- <math>\frac{A'F'}{F'B'} = \frac{A'D'}{D'B'}</math>. ברור שזה מתקיים אם ורק אם D',ו-F' מתלכדות.
עפ"י משפט תאלס, משפט מנלאוס שאנו רוצים להוכיח שקול לקביעה שD', F' מתלכדות אם ורק אם:
== ראו גם ==
<math>\frac{A'F'}{F'B'} \cdot \frac{B'D'}{D'C'} \cdot \frac{C'D'}{D'A'} = -1</math>
* [[משפט סבה]]
ונוסחה זו שקולה ל:
<math>\frac{A'F'}{F'B'} \cdot \frac{B'D'}{D'A'} = 1</math>
ששקולה ל:
<math>\frac{A'F'}{F'B'} = \frac{A'D'}{D'B'}</math>
וברור שזה מתקיים אם ורק אם D', F' מתלכדות. מש"ל
[[קטגוריה:גאומטריה]]
[[קטגוריה:משפטים מתמטיים|מנלאוס]]
| 