פונקציה הומוגנית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
ב [[מתמטיקה]] '''[[פונקציה]] הומוגנית''' מסדר n היא פונקציה שכאשר הארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע c, ערך הפונקציה מוכפל ב־c<sup>n</sup> .
==הגדרה מפורטת==
לדוגמה [[שטח]] של [[ריבוע]] - <math>\ S \left( a \right)=a^2</math> - הוא פונקציה הומוגנית מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר <math>\ S \left( ca \right)=c^2 a^2</math>.▼
תהי <math> f : V \rightarrow W </math> פונקציה בין שני [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטורים]] מעל ל[[שדה (מתמטיקה)|שדה]] <math> F </math>, ויהי ''k'' [[מספר שלם]] אזי הפונקציה <math> f </math> תיקרא הומוגנית מסדר ''k'' אם
<math> f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v}) </math> לכל <math> \alpha \in F </math> שונה מאפס, ולכל <math> v \in V </math>.
כאשר המרחבים הוקטוריים הם מעל ה[[שדה המספרים הממשיים|מספרים הממשיים]] מגדירים '''פונקציה הומוגנית חיובית''' מסדר ''k'' כאשר הדרישה <math> f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v}) </math> צריכה להתקיים רק עבור <math> \alpha </math> חיובי, ו''k'' יכול להיות כל [[מספר מרוכב]].
==דוגמאות==
===העתקות לינאריות===
כל [[העתקה לינארית]] <math> f : V \rightarrow W </math> היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הלינאריות:
<math> f(\alpha \mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{v})</math>
לכל <math> \alpha \in F </math> ולכל <math> v \in V </math>.
===פולינומים הומוגניים===
כל [[מונום]] (חד איבר) ב''n'' משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית <math> f: F^n \rightarrow F </math>.
▲לדוגמה [[שטח]] של [[ריבוע]] - <math>\ S \left( a \right)=a^2</math> - הוא
סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר יוצרים [[פולינום]] הומוגני. לדוגמא: <math>\mathbf{x}^5 + 2 \mathbf{x}^3 \mathbf{y}^2+9 \mathbf{x} \mathbf{y}^4</math> הוא פולינום הומוגני מסדר 5.
===פונקציות רציונליות===
ה[[פונקציה רציונלית|פונקציה הרציונלית]] הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת. כלומר אם ''f'' הוא פולינום הומוגני מסדר ''m'' ו''g'' הוא פולינום הומוגני מסדר ''n'', אזי <math> \frac {f}{g} </math> היא פונקציה הומוגנית מסדר ''m''-''n'' בכל הנקודות חוץ מב[[שורש (מתמטיקה)|שורשים]] של ''g''.
פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כמו לדוגמא: <math> \frac{x^2+y^2+z^2}{(x+2y+3z)^2}</math>, [[מוגדר היטב|מוגדרות היטב]] על הנקודות של ה[[מישור פרויקטיבי|מישור הפרויקטיבי]].
==פונקציות הומגניות חלקיות==
לעתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל [[אנרגיה קינטית]] - <math>\ E_k \left( m, v \right)= \frac{1}{2} m v^2 </math> - היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית - <math>E_k \left( m, cv \right)=\frac{1}{2}mc^2v^2</math>, לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים <math>E_k \left( cm, v \right)=\frac{1}{2}cmv^2</math>.
שורה 8 ⟵ 34:
<math>\ N \left( N_0, t, c\tau \right)=c^n N \left( N_0, t, \tau \right)</math>.
==משפט אוילר לפונקציות הומוגניות==
===ניסוח המשפט===
תהי <math> f : \mathbb {R}^n \rightarrow \mathbb {R} </math> [[פונקציה חלקה]] אזי ''f'' הומוגנית חיובית מסדר ''k'' [[אם ורק אם]]:
:<math>\ \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf{x})= \sum_{i=1}^n x_i \frac {\partial f}{\partial x_i} = kf(\mathbf{x}) </math>.
===תוצאה===
עבור פונקציה <math> f : \mathbb {R}^n \rightarrow \mathbb {R} </math> גזירה והומוגנית חיובית מסדר ''k'' נקבל ש:
<math>\frac{\partial f}{\partial x_i} </math> היא הומוגנית מסדר ''k-1''. כלומר:
:<math> \left. \frac{\partial f}{\partial
תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי <math> x_i </math>. שכן על פי משפט אוילר:
:<math>\ \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf{x})= kf(\mathbf{x}) </math>.
נגזור לפי <math> x_i </math> ונקבל:
:<math> \frac{\partial (\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf{x}))}{\partial x_i} = \frac {\partial f}{\partial x_i} + \mathbf{x} \cdot \nabla \frac{\partial f}{\partial x_i} = k \frac{\partial f}{\partial x_i} </math>.
ולכן:
:<math> \mathbf{x} \cdot \nabla \frac{\partial f}{\partial x_i} = (k-1) \frac{\partial f}{\partial x_i} </math>. הפעלה של הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.
[[קטגוריה:פונקציות מתמטיות: מאפיינים|הומוגנית]]
| |||