הבדלים בין גרסאות בדף "שדה המספרים המרוכבים"

טעון עריכה יסודית
(טעון עריכה יסודית)
 
==היסטוריה==
יצירתם של המספרים המרוכבים, בתחילת המאה ה-16, מיוחסת ל[[ג'ירולמו קרדאנו]] בתחילת המאה ה-16, שנעזר בהם כדי לפתור את ה[[משוואה ממעלה שלישית]]. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי [[רפאל בומבלי]]. באותה עת נחשבו מספרים כאלה לבלתיללא קיימיםאמיתיים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן למספרים אלהלהם. [[דקארט]], הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של [[לאונרד אוילר|אוילר]] ו[[קרל פרידריך גאוס|גאוס]].
 
==בניה מפורטת של השדה המרוכב==
מגדירים פעולות של [[חיבור]] ו[[כפל]] על האוסף <math>\ \mathbb{R}^2</math> של [[זוג סדור|זוגות סדורים]] של מספרים ממשיים, באופן הבא:
 
: <math>\ (x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)</math>
: <math>\ (x,y)\times(a,b)=(xa-yb,xb+ya)</math>.
המבנה המתקבל הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], ש[[איבר נייטרלי|איבר האפס]] שלו הוא <math>\ (0,0)</math>, ואיבר היחידה הוא <math>\ (1,0)</math>. לכל מספר <math>\ (x,y)</math> יש נגדי, <math>\ (-x,-y)</math>, ואם המספר שונה מאפס יש לו [[איבר הופכי]], <math>\ \Big (\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\Big )</math>.
 
כדי לראות שפעולות אלה הופכות את <math>\ \mathbb{R}^2</math> לשדה, בודקים את התכונות הבאות:
* פעולות הכפל והחיבור הן [[קומוטטיביות]], [[אסוציאטיביות]] ו[[חוק הפילוג|דיסטריבוטיביות]].
* קיים [[איבר נייטרלי]] ביחס לחיבור, <math>\ (0,0)</math>.
* קיים [[איבר נייטרלי]] ביחס לכפל, <math>\ (1,0)</math>.
* לכל איבר <math>\ (x,y)</math> קיים איבר נגדי ביחס לחיבור <math>\ (-x,-y)</math>.
* לכל איבר <math>\ (a,b)</math> השונה מ <math>\ (0,0)</math> קיים [[איבר הופכי]] ביחס לכפל <math>\ \Big (\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\Big )</math>.
 
הזוגות מהצורה <math>\ (x,0)</math> מקיימים <math>\ (x,0)+(y,0)=(x+y,0)</math> ו- <math>\ (x,0)\times (y,0)=(xy,0)</math>, ולכן ההתאמה <math>\ x\mapsto (x,0)</math> מהווה [[שיכון של שדות|שיכון]] של [[שדה המספרים הממשיים|שדה הממשיים]] בשדה החדש.
לפי הגדרת הכפל, <math>\ (0,1)\times (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)=(-1,0)</math>, כלומר: בשדה החדש, קיים שורש ל-האיבר <math>\ -i = (0,1)</math> (אותושל אנוהשדה מסמניםהחדש מקיים ב- <math>\ i^2 = -1</math>), ואז. כל איבר בשדה הוא מהצורה <math>\ x+iy</math> כאשר <math>\ x,y\in \mathbb{R}</math>.
 
== פונקציות וסימונים סטנדרטיים ==
==סימונים בשדה המרוכבים==
* <math>\ i</math> - הסימון המקובל לשורש הריבועי של <math>\ -1</math> ומסומן על ידי <math>\ i^2=-1</math> (לעתים משתמשים ב-<math>\ j</math> כתחליף ל- <math>\ i</math>).
* <math>\ z</math> - הסימון המקובל למספר מרוכב ומוגדר כ-<math>\ z=a +ib</math>.
* <math>\ Re(a+ib)=a</math> - פונקציה המחזירה את החלק הממשי (<math>\ a</math>) של <math>\ z</math>.
* <math>\ Im(a+ib)=b</math> - פונקציה המחזירה את החלק המדומה (<math>\ b</math>) של <math>\ z</math>.
 
הסימון <math>\ i</math> מציין את השורש הריבועי <math>\ -1</math> (כשרוצים לתת לאות i משמעות אחרת, כגון [[זרם]], משתמשים ב-<math>\ j</math> כתחליף). כל מספר מרוכב אפשר לכתוב באופן יחיד בצורה <math>\ a+bi</math> כאשר <math>\ a,b</math> ממשיים, הנקראים "החלק הממשי" ו"החלק המדומה" של המספר. הפונקציות <math>\ Re, Im : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}</math> מחזירות את החלק הממשי והחלק המדומה, בהתאמה.
==פונקציות סטנדרטיות בשדה המרוכבים==
 
===כפל מספרים מרוכבים===