שדה המספרים המרוכבים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
טעון עריכה יסודית |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 8:
יצירתם של המספרים המרוכבים, בתחילת המאה ה-16, מיוחסת ל[[ג'ירולמו קרדאנו]], שנעזר בהם כדי לפתור את ה[[משוואה ממעלה שלישית]]. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי [[רפאל בומבלי]]. באותה עת נחשבו מספרים כאלה ללא אמיתיים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן להם. [[דקארט]], הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של [[לאונרד אוילר|אוילר]] ו[[קרל פרידריך גאוס|גאוס]].
==
את שדה המספרים המרוכבים אפשר לבנות באופן פורמלי כאוסף ה[[זוג סדור|זוגות הסדורים]] <math>\ \mathbb{R}^2</math> של [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]], עם פעולות ה[[חיבור]] וה[[כפל]] המוגדרות לפי <math>\ (x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)</math> ו- <math>\ (x,y)\times(a,b)=(xa-yb,xb+ya)</math>. המבנה המתקבל הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], ש[[איבר נייטרלי|איבר האפס]] שלו הוא <math>\ (0,0)</math>, ואיבר היחידה הוא <math>\ (1,0)</math>. לכל מספר <math>\ (x,y)</math> יש נגדי, <math>\ (-x,-y)</math>, ואם המספר שונה מאפס יש לו [[איבר הופכי]], <math>\ \frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}</math>. הזוגות מהצורה <math>\ (x,0)</math> מקיימים <math>\ (x,0)+(y,0)=(x+y,0)</math> ו- <math>\ (x,0)\times (y,0)=(xy,0)</math>, ולכן ההתאמה <math>\ x\mapsto (x,0)</math> מהווה [[שיכון של שדות|שיכון]] של [[שדה המספרים הממשיים|שדה הממשיים]] בשדה החדש.
לפי הגדרת הכפל, האיבר <math>\ i = (0,1)</math> של השדה החדש מקיים <math>\
ההצגה של מספר מרוכב בצורה <math>\ z = x+iy</math>, הנקראת '''ההצגה הקרטזית''', מאפשרת לחשב בקלות את המכפלה באופן מפורש, בעזרת העובדה היסודית <math>\ i^2=-1</math>: <math>\ (a_1+ib_1) \cdot (a_2+ib_2)=a_1a_2 + ia_1b_2 + ib_1a_2 + i^2 b_1b_2=a_1a_2 - b_1b_2 + i(a_1b_2+b_1a_2) </math>.
▲הסימון <math>\ i</math> מציין את השורש הריבועי <math>\ -1</math> (כשרוצים לתת לאות i משמעות אחרת, כגון [[זרם]], משתמשים ב-<math>\ j</math> כתחליף). כל מספר מרוכב אפשר לכתוב באופן יחיד בצורה <math>\ a+bi</math> כאשר <math>\ a,b</math> ממשיים, הנקראים "החלק הממשי" ו"החלק המדומה" של המספר. הפונקציות <math>\ Re, Im : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}</math> מחזירות את החלק הממשי והחלק המדומה, בהתאמה.
ה[[נורמה (מתמטיקה)|נורמה הסטנדרטית]] של שדה המספרים הממשיים, המוגדרת לפי <math>\ \left | (a,b) \right | = \sqrt{a^2+b^2}</math>, מגדירה גם את ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] של מספר מרוכב, לפי אותה נוסחה בדיוק: <math>\ |a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}</math>. פונקציה זו, המהווה [[מטריקה|מטריקה ארכימדית]] על השדה, הופכת אותו ל[[מרחב נורמי]] [[מרחב מטרי שלם|שלם]] מעל שדה המספרים הממשיים.
[[קובץ:Complex conjugate picture.svg|שמאל|ממוזער|200px|הצגת הצמוד המרוכב <math>\ \overline z </math> של <math>\ z</math> ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]].]]
על המספרים המרוכבים מוגדר [[הצמוד המרוכב]], <math>\ \overline{x+iy} = x-iy</math>, שהוא [[אינוולוציה]]: <math>\ \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1}+\overline{z_2}</math>, <math>\ \overline{z_1z_2} = \overline{z_2}\, \overline{z_1}</math>, ו- <math>\ \overline{\overline{z}} = z</math>. פעולת ההצמדה היא [[אוטומורפיזמים]] מסדר 2 של [[הרחבת שדות|ההרחבה]] <math>\ \mathbb{C}/\mathbb{R}</math>, היוצר את [[חבורת גלואה]] של ההרחבה הזו. תכונות האינוולוציה, ובפרט [[אי-שוויון המשולש]] <math>\ \left| z+w \right| \le \left| z\right|+\left|w \right|</math>, הופכות את המרוכבים ל[[אלגברה סי כוכב|אלגברה כוכב]] (*-אלגברה).
הנורמה המרוכבת היא ה[[שורש ריבועי]] של ה[[נורמה (אלגברה)|נורמה האלגברית]], המוגדרת לפי <math>\ N(z) = z\bar{z}</math>, כלומר <math>\ N(x+iy) = (x+iy)(x-iy) = x^2+y^2</math>. הנורמה כפלית (<math>\ |z_1z_2| = |z_1|\cdot |z_2|</math>), ושומרת על הצמוד: <math>\ |\bar{z}|=|z|</math>.
העובדה שהנורמה (של מספר שונה מאפס) תמיד חיובית מאפשרת לחלק בקלות מספרים מרוכבים: <math>\ \frac{w}{z}=\frac{w \cdot \bar{z}}{z\cdot \bar{z}}=\frac{ w \bar{z}}{|z|^2} </math>, ובמכנה של ה[[שבר]] הזה יש מספר ממשי. מכאן אפשר לקבל גם את הנוסחה המפורשת, <math>\ \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}=\frac{(x_1x_2+y_1y_2)+(x_2y_1-x_1y_2)i}{x_2^2+y_2^2}</math>.
==הצגה קוטבית והמישור המרוכב==
שורה 60 ⟵ 31:
לזווית נקרא '''ארגומנט''' של המספר המרוכב. נשים לב שאין למספר מרוכב ארגומנט יחיד - מרגע שנמצא ארגומנט, כל זווית אחרת כך שהפרשן של שתי הזוויות הוא <math>\ 2\pi</math> גם היא ארגומנט. לכן נהוג לרוב כאשר מדברים על '''ה'''ארגומנט של מספר מרוכב לבחור את הזווית ששייכת לקטע <math>\ (-\pi,\pi]</math>.
על כן,
בדרך כלל משתמשים בקיצור <math>\ \operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta</math>. קיצור מקובל נוסף הוא <math>\ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math>, שנובע מתכונות פונקציית ה[[אקספוננט]] עבור ערכים מרוכבים.
| |||