פונקציית גל – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 10:
==פונקציית גל במכניקת הקוונטים==
במכניקת הקוונטים ה[[מצב קוונטי|מצב]] של מערכת כלשהיא מתואר על ידי [[וקטור (פיזיקה)|וקטור]] ב[[מרחב הילברט]] הנקרא [[וקטור מצב]]. פעמים רבות מתייחסים לוקטור זה כאל פונקצית גל. במקרים כאלה, פונקצית הגל היא פתרון ל[[משוואת שרדינגר|משוואת הגלים של שרדינגר]] והיא אינה מיצגת [[גודל פיזיקלי]] מדיד, אך הערך המוחלט שלה בריבוע מייצג את ה[[הסתברות]], או [[פונקציית צפיפות|צפיפות הסתברות]], למצוא את המערכת במצב מסוים. כשהמערכת מתוארת על ידי גדלים כמו מיקום ו[[תנע]], לדוגמה המיקום והתנע של [[אלקטרון]] יחיד, יש לפונקצית הגל של צורה דומה לזו של גלים אחרים ("קלאסים") הנזכרים למעלה. ערך זה דן בסוג זה של פונקצית גל.
לעובדה שפונקצית גל יכולה לתאר חלקיקים יש קשר ל[[דואליות גל-חלקיק]] כמו גם לעובדה שלפונקצית הגל של האור ניתן ליחס תכונות חלקיקיות כמו תנע ומיקום ומכאן נובע המושג [[פוטון]].
===פורמליזם===
פונקציית הגל יכולה להיות פונקציה של המיקום (וה[[זמן]]) ואז נהוג לכתוב אותה כ-<math>\ \psi (\vec{r},t)</math>. כאן <math>\ \vec{r}</math> - [[וקטור (פיזיקה)|וקטור]] המקום ו-<math>\ t</math> הוא הזמן. ערך הפונקציה, שנקרא לפעמים [[משרעת]], הוא [[שדה המספרים המרוכבים|מרוכב]], באופן כללי. צפיפות הסתברות נתונה על ידי <math>\ |\psi|^2</math> לכן אם נרצה לחשב את ההסתברות של המערכת (לדוגמה חלקיק) להימצא בתחום V כלשהוא צריך [[אינטגרל|לסכום]] על צפיפות ההסתברות בתוך התחום כלומר:
: <math>\ \mbox{Prob}(
מכיוון שהמערכת חייבת להיות במיקום כלשהוא חייב להתקיים
: <math>\ \int | \psi(\vec{r})|^2 dV = \int | \psi(\vec{r})|^2 d^3 r = 1</math>
כשהאינטגרל הוא על כל המרחב. תנאי זה נקרה הנירמול של פונקצית הגל.
תמונה פשוטה יותר מתקבלת אם נתבונן בחלקיק היכול לנוע רק בכיוון אחד, נאמר ציר ה-<math>\ x</math>. זוהי מערכת חד מימדית, כלומר כדי לתאר את המערכת כל שצריך הוא להגיד מה המיקום של החלקיק על ציר ה-<math>\ x</math>. תיאור קלאסי של המערכת יינתן על ידי <math>\ x(t)</math>, המיקום של החלקיק כפונקציה של הזמן. התיאור הקוונטי הוא דרך פונקצית הגל: <math>\ \psi (x,t)</math>. אם נרצה לדעת איפה החלקיק בזמן כלשהוא נוכל לחשב את הסתברות שלו להיות בכל נקודה. מכיוון ש<math>\ x</math> הוא רציף יש אינסוף ([[עוצמת הרצף|<math>\!\ \aleph</math>]]) נקודות בכל תחום והסיכוי של החלקיק להיות בנקודה מסוימת שואף לאפס, אך הסיכוי של החלקיק להיות בתחום -<math>\ b > x > a</math> הוא סופי ונתון על ידי
▲: <math>\ \mbox{Prob}( \vec{r} \in V) = \int_V | \psi(\vec{r})|^2 dV = \int_V | \psi(\vec{r})|^2 d^3 r</math>
: <math>\ \mbox{Prob}( a \le x \le b) = \int_a^b | \psi(x)|^2 dx</math>
כשתנאי הנירמול הוא:
:1 = <math>\ \int_{-\infty}^\infty | \psi(x)|^2 dx</math>
===מרחב המיקום לעומת מרחב התנע===
גל מישורי, במימד אחד נתון על ידי : <math>\ \psi (x) = e^{i k x}</math> כש <math>\ k </math> הוא [[מספר גל|מספר הגל]] ו<math>\ \lambda = {2 \pi \over k}</math> הוא [[אורך גל|אורך הגל]]. לפי [[השערת דה ברויי]] תנע הגל הוא <math>\ p = \hbar k = \hbar {2 \pi \over \lambda}</math>
ניתן לרשום את פונקצית הגל כסופרפוזיציה של גלים מישוריים:
: <math>\ \psi (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int{ \tilde{\psi} (p) e^{{i \over \hbar} p x} dp}</math>
כש <math>\ \tilde{\psi} (p)</math> היא [[התמרת פוריה]] של <math>\ \psi (x)</math>. לכן, הפונקציה <math>\ \tilde{\psi} (p)</math> נותנת גם היא תיאור שלם של המערכת כשהסתברות למצוא את המערכת עם תנע בתחום -<math>\ p_1 > p > p_2</math> b נתון על ידי
: <math>\ \mbox{Prob}( p_1 > p > p_2) = \int_{p_1}^{p_2} | \tilde{\psi} (p)|^2 dp</math>
כשתנאי הנירמול הוא:
:1 = <math>\ \int_{-\infty}^\infty | \tilde{\psi} (p)|^2 dp</math>
כתיבה של <math>\ x </math> ו-<math>\ b > x > a</math> כוקטורים מכלילה את הרעיון לשלושה מימדים.
אם נרצה לתאר חלקיק הנמצא במיקום מאוד מדויק, נכתוב את פונקצית הגל, במרחב המיקום, כ[[פונקציית דלתא של דיראק|פונקצית דלתא]] ולכן במרחב התנע הפונקציה תהיה קבוע (התמרת פוריה של פונקצית דלתא). משמעות הדבר שתנע החלקיק אינו מוגדר מכיוון שהוא יכול להיות כל ערך באותה הסתברות. ובאותו אופן, לחלקיק בעל תנע מאוד מדויק לא יהיה מיקום מוגדר. זו הי הוא המחשה של [[עקרון אי הוודאות]].
== התפתחות המושג ==
| |||