מספר שמח – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
לפי ויקי האנגלית, יש להמשיך כך משום שההסבר העברי היה שגוי |
←הסבר: מוויקי האנגלית |
||
שורה 16:
== הסבר ==
ה[[פונקציה]] <math>\ f : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}</math> מוגדרת כך ש- <math>\ f(n)</math> הוא סכום ריבועי [[ספרה|הספרות]] של <math>\ n</math>. ▼
▲
הריבוע של הספרה הגדולה ביותר, 9, הוא 81, ולכן סכום הריבועים של מספר טבעי n, שלו יש m ספרות, הוא לא יותר מאשר 81m. ל-<math>\ m \geq 4</math> מתקיים :<math>\ n\geq10^{m-1}>81m</math>▼
כך שבתהליך זה כל מספר גדול מ-1000 הולך וקטן, ובפרט קטן מספר הספרות של איברי הסדרה. ▼
▲הריבוע של הספרה הגדולה ביותר, 9, הוא 81, ולכן סכום הריבועים של מספר טבעי n, שלו יש m ספרות, הוא לא יותר מאשר 81m.
▲כך שבתהליך זה כל מספר גדול מ-1000 הולך וקטן, ובפרט קטן מספר הספרות של איברי הסדרה. כאשר הסדרה מגיעה למספר קטן מ-1000, המספר שסכום ריבועי ספרותיו הוא הגדול ביותר הוא 999, והסכום המתקבל הוא 243.
* בטווח 100 עד 243, המספר 199 מייצר את הערך הבא בתור בגודלו, 163.
* בטווח 100 עד 163, המספר 159 מייצר את הערך הבא בתור בגודלו, 107.
* בטווח 100 עד 107, המספר 107 מייצר את הערך הבא בתור בגודלו, 50.
בהתאם לכך, כל מספר גדול מ-99 הולך וקטן בתהליך זה, כלומר: לכל מספר שנבדוק, נגיע בשלב כלשהו בסדרה למספר קטן מ-100. בדיקה של כל המספרים בטווח 1 עד 99 מגלה שכל מספר בטווח זה הוא מספר שמח או שהוא מגיע למחזור המתואר לעיל.
מכאן נובע שהפעלה חוזרת של f מוכרחה להסתיים או [[נקודת שבת|בנקודת השבת]] (היינו, מספר m שעבורו <math>\ f(m)=m</math>), או ב[[פונקציה מחזורית|מחזור]] סופי.
שורה 27 ⟵ 31:
<math>\ 4\mapsto 16 \mapsto 37 \mapsto 58\mapsto 89\mapsto 145\mapsto 42\mapsto 20\mapsto 4</math>.
מקיומם של מספר שמח אחד ומספר אחד שאינו שמח, קל לראות שישנם אינסוף מספרים "שמחים", ואינסוף מספרים שאינם כאלה. אם k הוא מספר שמח, הרי מספר המורכב מ-k מופעים של הספרה 1 וממספר מופעים כלשהו של הספרה 0 גם הוא שמח (משום שסכום ריבועי ספרותיו הוא k), כלומר מצאנו אינסוף מספרים שמחים. באופן דומה ניתן לייצר אינסוף מספרים שאינם שמחים, בעקבות מספר נתון אחד שאינו שמח.
קל לראות שישנם אינסוף מספרים "שמחים", ואינסוף מספרים שאינם כאלה. חיפוש ממוחשב עד ל-10<sup>20</sup> מעלה כי בערך 12% מהמספרים הם "שמחים", אך ה[[צפיפות (תורת המספרים)|צפיפות]] המדויקת אינה ידועה.▼
▲
[[קטגוריה:
[[קטגוריה:תכונות התלויות בבסיס הספירה]]
| |||