הבדלים בין גרסאות בדף "סגור (טופולוגיה)"

מ
כמה תיקונים ותוספות
מ (עוד כמה תוספות)
מ (כמה תיקונים ותוספות)
יהא <math>\!\, X</math> מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא <math>\!\, S\subseteq X</math> קבוצה. אם <math>\!\, \Lambda</math> היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות <math>\!\, S\subseteq A\subseteq X</math>, אז ה'''סגור''' של <math>\!\, S</math> יסומן <math>\!\, Cl(S)</math> או <math>\!\, \bar{S}</math>, ויוגדר על ידי <math>\!\, Cl(S)=\bigcap_{A\isin\Lambda}A</math>.
 
נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):
הגדרה אלטרנטיבית ושקולה היא זו: <math>\!\, Cl(S)</math> היא קבוצת כל האיברים של <math>\!\, X</math> שבכל [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] שלהם קיים איבר של <math>\!\, S</math> (לא בהכרח שונה מהם).
 
הגדרה אלטרנטיבית ושקולה היא זו:* <math>\!\, Cl(S)</math> היא קבוצת כל האיברים של <math>\!\, X</math> שבכל [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] שלהם קיים איבר של <math>\!\, S</math> (לא בהכרח שונה מהם).
עוד דרך שקולה להגדיר סגור של קבוצה היא באמצעות ה[[פנים (טופולוגיה)|פנים]] של ה[[משלים (בתורת הקבוצות)|משלים]] של הקבוצה: <math>\!\, Cl(A)=\left(Int(A^C)\right)^C</math>.
*<math>\!\, Cl(S)=S\cup S'</math>, כאשר <math>\!\, S'</math> היא קבוצת כל [[נקודת הצטברות|נקודות ההצטברות]] של <math>\!\, S</math>.
עוד* דרך שקולה להגדיר סגור של קבוצה היאהגדרה באמצעות ה[[פנים (טופולוגיה)|פנים]] של ה[[משלים (בתורת הקבוצות)|משלים]] של הקבוצה: <math>\!\, Cl(A)=\left(Int(A^C)\right)^C</math>.
 
==תכונות הנוגעות לסגור==
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות [[פנים (טופולוגיה)|הפנים]]
 
*כל [[קבוצה סגורה]] שווה לסגור שלה: <math>\!\, A=Cl(A)</math>. בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן <math>\!\, Cl(A)=Cl\left(Cl(A)\right)</math>.