פולינום מינימלי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Luckas-bot (שיחה | תרומות) מ r2.7.1) (בוט מוסיף: sl:Minimalni polinom (linearna algebra) |
|||
שורה 25:
== הפולינום הגנרי ==
הפולינום המינימלי מאפשר להגדיר אינווראנטים חשובים של אלגברות מממד סופי. תהי A [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] (אסוציאטיבית, או לכל הפחות [[אלגברה לא אסוציאטיבית]] שהיא [[אלגברה בעלת חזקות אסוציאטיביות|בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט]]), מממד סופי מעל שדה F. נבחר [[בסיס (אלגברה לינארית)|בסיס]] <math>\ b_1,\dots,b_n</math>, ונתבונן באיבר <math>\ X = x_1 b_1 + \cdots +x_n b_n</math> של האלגברה <math>\ A \otimes_F F(x_1,\dots,x_n)</math> המתקבלת מ[[הרחבת סקלרים]] מ-F לשדה הפונקציות <math>\ F(x_1,\dots,x_n)</math>. במקרה כזה, קיים פולינום מינימלי מתוקן P המאפס את X, והוא נקרא '''הפולינום המינימלי הגנרי''' של A.
אם כותבים
שורה 35:
על ידי הצבה אפשר לחשב מ-P פולינום המאפס כל איבר נתון של האלגברה (אם כי זה אינו בהכרח פולינום מינימלי). המקדם <math>\ s_1</math>, המקיים את תנאי האדיטיביות <math>\ s_1(a+b)=s_1(a)+s_1(b)</math>, נקרא '''העקבה הגנרית''' (ראו [[עקבה (אלגברה)|עקבה]]), והמקדם האחרון <math>\ s_m</math> הוא '''הנורמה הגנרית''' (ראו [[נורמה (אלגברה)|נורמה]]). המעלה m של P נקראת גם '''הדרגה''' של A.
לדוגמה, הדרגה של אלגברת המטריצות <math>\ M_m(F)</math> היא m; וזו גם הדרגה של כל [[אלגברה פשוטה]] מממד <math>\ m^2</math> מעל למרכז שלה. במקרה הראשון, העקבה הגנרית מתלכדת עם העקבה הרגילה, והנורמה הגנרית מתלכדת עם ה[[דטרמיננטה]]. בין השימושים הרבים של הפונקציות הללו אפשר למנות את העובדה הבאה:
אלגברות (לא אסוציאטיביות) מדרגה 2 נקראות [[אלגברה ריבועית|אלגברות ריבועיות]].
|