הלמה של צורן – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 11:
==דוגמה לשימוש בלמה של צורן==
נוכיח לדוגמה, תוך שימוש בלמה של צורן כי בכל חוג עם יחידה קיים [[אידאל מקסימלי]]. יהי ''R'' חוג עם יחידה, ותהי ''P'' קבוצת כל האידאלים האמיתיים ב''R'' (כלומר, האידיאלים שאינם שווים לחוג R עצמו), סדורה על ידי יחס ההכלה. ''P'' אינה ריקה שכן אידאל האפס שייך ל''P''.
תהי C שרשרת ב-''P''. האיחוד U של כל האידיאלים בשרשרת הוא אידיאל (הוא סגור לכפל באיבר r של החוג משום שכל איבר x בתוכו שייך לאידיאל בשרשרת, המכיל גם את המכפלות rx ו-xr, וסגור לחיבור משום שאם x,y באיחוד אז יש אידיאלים <math>\ S,T\in C</math> כך ש-<math>\ x\in S</math> ו-<math>\ y\in T</math>; אבל C שרשרת ולכן אפשר להניח ש-<math>\ S\subseteq T</math>, ואז <math>\ x+y \in T</math> מכיוון ש-T סגור לחיבור). כעת מבצע איבר היחידה את תפקידו החיוני בהוכחה: הוא אינו שייך לאף אידיאל בשרשרת (משום שכולם אידיאלים אמיתיים), ולכן גם אינו שייך ל-U -- מכאן שגם U אידיאל אמיתי.
לפי הלמה של צורן, יש ב-''P'' איבר מקסימלי, שהוא אידיאל מקסימלי של החוג. הוכחה זו אינה עובדת בחוגים ללא יחידה, ואכן ישנם חוגים כאלה ללא אידיאל מקסימלי (לדוגמא, בחוג הפולינומים השבריים <math>\ R_0 = \sum_{\alpha>0} F x^{\alpha}</math> אין אידיאל מקסימלי; <math>\ R_0</math> עצמו הוא האידיאל המקסימלי היחיד של אותו חוג בתוספת יחידה, <math>\ \sum_{\alpha \geq 0}F x^{\alpha}</math>).
== קישורים חיצוניים ==
| |||