פונקציית צפיפות – הבדלי גרסאות

מ
שינויי קוסמטיים ב-LaTeX
מ (שינויי קוסמטיים ב-LaTeX)
== פונקציית צפיפות ==
 
[[פונקציה אינטגרבילית]] ממשית f נקראת '''פונקציית צפיפות''' אם היא חיובית, והאינטגרל שלה <math>\ \int_int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx</math> שווה ל-1. כל פונקציה כזו מגדירה התפלגות של [[משתנה מקרי]], על ידי הנוסחה <math>\ P(a<X<b) = P(a\leqle X <\le b) = \int_{a}int\limits_a^{b} f(x)\mathrm dx</math>. מן ההגדרה נובע שהסיכוי לכך שהמשתנה יקבל ערך a מסוים הוא תמיד אפס.
 
מאידך, משתנה מקרי X ש[[פונקציית הצטברות|פונקציית ההצטברות]] שלו <math>\ F(x) = P(X<x) = P(X\le x)</math> גזירה, מגדירה פונקציית צפיפות - הנגזרת של F. אינטואיטיבית, אפשר לחשוב על המכפלה <math>\ f(x)\mathrm dx</math> בתור ההסתברות לכך ש -<math>\ X</math> ייפול בקטע [[אינפיניטסימל|אינפיניטסימלי]] <math>\ [x,x+\mathrm dx]</math>.
 
לא לכל [[התפלגות]] יש פונקציית צפיפות: ההסתברות המצטברת של [[משתנה מקרי בדיד]] אינה גזירה; למשתנה בדיד יש, כביכול, צפיפות אינסופית בנקודות שבהן ההסתברות שלו חיובית.
=== פונקציות המוגדרות כמעט בכל מקום ===
 
להתפלגות ישנה פונקציית צפיפות אם ורק אם פונקציית ההצטברות שלה <math>\ F(x)</math> [[פונקציה רציפה בהחלט]]. במקרה זה <math>\ F(x)</math> [[נגזרת|גזירה]] כמעט בכל מקום, והנגזרת יכולה לשמש כפונקציית צפיפות <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}F(x) = f(x)</math> יכולה לשמש כפונקציית צפיפות.
 
שתי פונקציות צפיפות <math>\ f(x)</math> ו- <math>\ g(x)</math> מייצגות את אותה ההתפלגות בדיוק אם הן שונות רק בקבוצת [[מידת לבג|לבג]] [[קבוצה ממידה אפס|ממידה אפס]].
== שימושים בפונקציית הצפיפות ==
 
אם נתון משתנה מקרי <math>\ X</math> בעל פונקציית צפיפות <math>\ f(x)</math>, אז ניתן לחשב את ה[[תוחלת]] שלו (אם קיימת) כך:כ-<math>\operatorname{E}(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,\mathrm dx</math>.
:<math>\operatorname{E}(X)=\int_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,dx.</math>
 
== דוגמאותדוגמאת ==
 
* פונקציית הצפיפות של ה[[התפלגות אחידה|התפלגות האחידה]] בקטע <math>\ [0,2]</math> היא <math>\ f(x) = \frac{1}{2}</math> בקטע, ואפס מחוץ לקטע.
 
ל* פונקציית הצפיפות של [[התפלגות נורמלית]] תקנית ישהיא פונקציית<math>f(x)={e^{-{x^2/2}}\over צפיפות:\sqrt{2\pi}}</math>.
:<math>f(x)={e^{-{x^2/2}}\over \sqrt{2\pi}}.</math>
 
== ראו גם ==