משוואה דיפרנציאלית רגילה – הבדלי גרסאות

למשוואות דיפרנציאליות יש חשיבות רבה בכל תחומי המדע - מ[[פיזיקה]] ו[[כימיה]], דרך [[מטאורולוגיה]], ועד [[כלכלה]]. הסיבה לכך היא שלרוב אנו יודעים לכתוב משוואה המתארת את החוק שלפיו משתנה האובייקט שאותו אנחנו חוקרים: לדוגמה, [[מיקום]] או [[מהירות]] של חלקיק, [[טמפרטורה]] של נקודות שונות במרחב, [[ביקוש]] ו[[היצע]] של מוצרים, וכן הלאה. משוואות כאלה הן לרוב משוואות דיפרנציאליות, ולכן הן צצות ועולות בכל תחום מדעי שבו מנסים לתאר את העולם בכלים מתמטיים.

 

ניתן להפריד בין סוגים שונים של משוואות על פי '''הסדר''' שלהן. סדר של משוואה דיפרנציאלית הוא הסדר של הנגזרת הגבוהה ביותר של הפונקציה הנעלמת שמופיעה בה. כמו כן, ניתן להבדיל בין משוואה דיפרנציאלית יחידה ובין מערכת של מספר משוואות דיפרנציאליות, שבהן מחפשים יותר מפונקציה אחת. ניתן להראות כי כל משוואה דיפרנציאלית מסדר <math>\ n</math> ניתנת להצגה כמערכת של <math>\ n</math> משוואות דיפרנציאליות מסדר 1.

 

באופן כללי, משוואה מסדר ראשון מתוארת על ידי הפונקציה <math>\ F\left(y,y',x\right)=0</math>. אנו מחפשים פונקציה <math>\ y(x)</math> כך שכאשר נציב אותה בפונקציה <math>\ F</math> נקבל 0.

 

עבור משוואות מסדר ראשון קיים [[משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)|משפט קיום ויחידות]] המבטיח עבור אוסף רחב של משוואות כי לכל תנאי התחלה קיים פתרון והוא יחיד.

 

[[משוואה דיפרנציאלית לינארית|משוואה לינארית]] מסדר ראשון היא משוואה מהצורה <math>\ y'+h(x)y+g(x)=0</math>. כלומר, הן הפונקציה והן נגזרתה מופיעות לבדן ולא כחלק מפונקציה מורכבת (למשל <math>\ \ln(y)</math>). הפונקציה הנעלמת מוכפלת בפונקציה כלשהי של <math>\ x</math> ופונקציה נוספת של <math>\ x</math> היא "גורם חופשי" של המשוואה.

 

אם <math>\ g(x)\equiv 0</math>, כלומר המשוואה היא מהצורה <math>\ y'+h(x)y=0</math>, המשוואה נקראת "משוואה לינארית הומוגנית". יש לשים לב שאין קשר בין משוואה דיפרנציאלית '''לינארית''' הומוגנית ובין משוואה דיפרנציאלית הומוגנית - זהו שם דומה שניתן לשני סוגים שונים של משוואות.

 

מקרה פרטי של משוואה לינארית לא-הומוגנית מסדר ראשון הוא: <math>\ y'+by=c</math>, כאשר b ו-c קבועים. פתרון המשוואה ניתן לכתיבה כסכום של פתרון הומוגני ופתרון פרטי (לא-הומוגני): <math>\ y = ke^{-bt} + c/b</math>, כאשר k קבוע כלשהו. זוהי דעיכה [[פונקציה מעריכית|מעריכית]] לערך קבוע, והיא נפוצה בטבע.

 

גידול ודעיכה מעריכית נפוצים בתחומי מדע רבים משום שתופעות רבות מקיימות בקירוב משוואה דיפרנציאלית זו. [[משוואות לוטקה-וולטרה]], למשל, משמשות לחקר האוכלוסיות ב[[ביולוגיה]]. במעגלים חשמליים כמו [[מעגל RC]] או RL (המכונים מעגלים מסדר ראשון) זהו [[מתח חשמלי]]. ריכוז המגיבים ב[[תגובה כימית]] מסדר ראשון ושל חומרים העוברים התפרקות [[רדיואקטיביות|רדיואקטיבית]] וכמו כן ה[[טמפרטורה]] של [[חוק הקירור של ניוטון|גוף חם בסביבה קרה]] גם הם גדלים או דועכים באופן מעריכי.

 

משוואה דיפרנציאלית נקראת '''ספרבילית''' אם היא מהצורה <math>\ y'+M(x)N(y)=0</math> או שניתן להביאה לצורה זו. כלומר, ניתן להפריד בין המשתנה <math>\ x</math> והמשתנה <math>\ y</math>. דרך כתיבה נוספת למשוואה זו היא <math>\ M(x)dx=N(y)dy</math>, כלומר, "מפרקים" את הנגזרת <math>\ y'=\frac{dy}{dx}</math> למרכיבים שכל אחד באגף נפרד. נשים לב כי זהו סימון בלבד.

 

פתרון של משוואה ספרבילית נעשה באמצעות הבאתה לצורה <math>\ M(x)dx=N(y)dy</math> וביצוע אינטגרציה לשני האגפים: <math>\ \int_{x_0}^x M(x)dx=\int_{y_0}^y N(y)dy</math>, כאשר <math>\ y_0=y(x_0)</math> הוא תנאי ההתחלה של המשוואה. (זו אמנם אינה דרך פתרון שכל הצעדים בה תקינים פורמלית, אך ניתן להוכיח כי היא מחזירה את התוצאה הנכונה).

 

משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון נקראת '''מדויקת''' אם היא מהצורה <math>\ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0</math> כך שמתקיים <math>\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}</math>.

 

אם משוואה איננה מדויקת, ניתן לנסות ולהביא אותה לצורה של משוואה מדויקת על ידי הכפלת שני האגפים בפונקציה כלשהי. פונקציה שמכפלה בה הופכת את המשוואה למדויקת נקראת '''גורם אינטגרציה'''.

 

משוואה דיפרנציאלית '''הומוגנית''' היא משוואה מהצורה <math>\ y'+f(x,y)=0</math> כאשר מתקיים <math>\ f(x,y)=f(tx,ty)</math> לכל <math>\ t\in\mathbb{R}</math>. ניתן להביא משוואה שכזו לצורה של משוואה ספרבילית על ידי החלפת משתנים עם ההצבה <math>\ z=\frac{y}{x}</math>.

משוואה דיפרנציאלית מהצורה <math>\ y'+p(x)y=q(x)y^n</math> נקראת '''משוואת ברנולי''' (על שם המתמטיקאי [[יאקוב ברנולי]]). משוואה שכזו ניתן לפתור על ידי ההצבה <math>\ z=y^{1-n}</math>, שממנה מקבלים את המשוואה הלינארית <math>\ z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)</math>.

 

באופן כללי, משוואה מסדר שני מתוארת על ידי הפונקציה <math>\ F\left(y,y',y'',x\right)=0</math>. משוואות מסדר שני קשות לפתרון יותר מאשר משוואות מסדר ראשון, אך קיימות שיטות פתרון יעילות עבור משוואות '''לינאריות''' מסדר שני. שיטות אלו הן מקרים פרטיים של השיטות הכלליות לטיפול במשוואה לינארית מסדר כלשהו, אך בשל פשטותן היחסית הן יותר קלות לשימוש ולהבנה מאשר השיטות הכלליות.

 

[[משוואה דיפרנציאלית לינארית|משוואה לינארית]] הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה <math>\ y''+p(x)y'+q(x)y=0</math>. סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה זו גם הוא פתרון, ועל כן הפתרונות מהווים [[מרחב וקטורי]], לכן ניתן למצוא בסיס למרחב זה, כלומר שני פתרונות פרטיים [[תלות לינארית|בלתי תלויים]] של המשוואה כך ש'''כל''' פתרון של המשוואה יכול להיכתב כצירוף לינארי שלהם.

 

כאשר הפונקציות <math>\ p(x),q(x)</math> הן קבועים, כלומר המשוואה היא מהצורה <math>\ y''+ay'+by</math>, קיימים פתרונות למשוואה מהצורה <math>\ e^{\lambda x}</math>, כאשר <math>\ \lambda</math> הוא [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של ה[[פולינום]] <math>\ x^2+ax+b</math> (פולינום זה מכונה '''הפולינום האופייני של המשוואה'''). אם יש שני שורשים שונים, שני הפתרונות שהם נותנים הם בלתי תלויים. אם יש רק שורש יחיד, <math>\ xe^{\lambda x}</math> הוא פתרון בלתי תלוי. אם השורשים הם [[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]], ניתן על ידי חיבורם או חיסורם וחלוקה בקבוע לקבל שני פתרונות בלתי תלויים ממשיים - אם <math>\ \lambda\pm i\mu</math> הם השורשים, מקבלים את הפתרונות <math>\ e^{\lambda x}\sin(\mu x),e^{\lambda x}\cos(\mu x)</math>.

 

==קישורים חיצוניים==

* {{MathWorld|OrdinaryDifferentialEquation}}