פעולה אסוציאטיבית – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה
**
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''פעולה אסוציאטיבית''' היא [[פעולה בינארית]] <math>\ (a,b) \mapsto a*b</math> המקיימת את "חוק הקיבוץ", כלומר, לכל <math>\ a,b,c</math> מתקיים <math>\ a*(b*c) = (a*b)*c</math>. פעולות ה[[חיבור]] וה[[כפל]] של [[מספר|מספרים]] הן דוגמאות חשובות לפעולות אסוציאטיביות. דוגמא כללית יותר היא פעולת ה[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] של [[פונקציה|פונקציות]] (ראו להלן), שבזכותה קיימות עוד פעולות אסוציאטיביות רבות, כמו [[כפל מטריצות]].
{{מפנה|קיבוציות|קיבוציות במובנה ה[[סוציולוגיה|סוציולוגי]]|קולקטיביזם}}
 
לפעולות אסוציאטיביות תפקיד מרכזי ב[[אלגברה מופשטת]] - מערכת הכוללת קבוצה עם פעולה אסוציאטיבית נקראת [[חבורה למחצה]], והנחות נוספות על הפעולה מוליכות להגדרה של [[מונויד]] ושל [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]]. הכפל בכל [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] הוא אסוציאטיבי; באלגברה נלמדות גם מערכות שבהן [[אלגברה לא אסוציאטיבית|הכפל אינו אסוציאטיבי]].
'''אסוציאטיביות''' (בעברית: '''קיבוציות''') היא תכונה של [[פעולה בינארית]] המקיימת את 'חוק הקיבוץ'. בניסוח פורמלי, הפעולה שנסמן ב-<nowiki>"*"</nowiki> (לאו דווקא פעולת הכפל הרגילה) היא אסוציאטיבית [[אם ורק אם]] לכל a,b,c:
 
== הכללות ==
<math>\ (a * b) * c = a * (b * c)</math>
 
בדרך כלל המונח "פעולה אסוציאטיבית" מתייחס, כאמור, לפעולה בינארית, כלומר לפונקציה <math>\ A \times A \rightarrow A</math>. עם זאת למלה "פעולה" יש גם משמעות רחבה יותר, והיא עשויה לחול על כל פונקציה דו-מקומית <math>\ A\times B \rightarrow C</math>. במצב שבו מוגדרות פעולות <math>\ A \times B \rightarrow C</math>, <math>\ B \times C \rightarrow Y</math>, וכן <math>\ X \times C \rightarrow \Omega</math> ו-<math>\ A \times Y \rightarrow \Omega</math>, אומרים שהמערכת אסוציאטיבית (או שאחת הפעולות אסוציאטיבית ביחס לאחרות) אם ה[[דיאגרמה (אלגברה הומולוגית)|דיאגרמה]]
פעולות ה[[חיבור]] וה[[כפל]] ב[[מספר|מספרים]], לדוגמה, הן אסוציאטיביות:
: <math>\ \begin{array}{ccc} A \times B \times C & \longrightarrow & A \times Y \\ \downarrow & & \downarrow \\ X \times C & \longrightarrow & \Omega \end{array}</math> [[דיאגרמה קומוטטיבית|קומוטטיבית]].
 
הרכבה של פונקציות היא אסוציאטיבית במובן הכללי הזה: לכל שלוש פונקציות <math>\ X \stackrel{f}{\rightarrow} Y \stackrel{g}{\rightarrow} Z \stackrel{h}{\rightarrow} U</math> מתקיים <math>\ (h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)</math>. גם פעולת הכפל בסקלר של [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] M מעל חוג R היא אסוציאטיבית במובן דומה: לכל <math>\ a,b \in R</math> ו-<math>\ v \in M</math> מתקיים <math>\ a(bx) = (ab)x</math>.
<math>\ (1+2)+3=1+(2+3)</math>
 
<math>\ (2*3)*4=2*(3*4)</math>
 
פעולת ה[[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]], לעומת זאת, איננה אסוציאטיבית, כפי שניתן לראות מן ה[[דוגמה נגדית|דוגמה הנגדית]] הבאה: <math>\ 2^{(3^4)} \ne (2^3)^4</math>.
 
[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] של [[פונקציה|פונקציות]] היא פעולה אסוציאטיבית, ומכיוון שלפונקציות תפקיד מרכזי כל-כך ב[[מתמטיקה]], דורשים מפעולת הכפל להיות אסוציאטיבית ב[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] וב[[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]] רבים אחרים.
 
[[קומוטטיביות]] היא תכונה אפשרית אחרת של פעולות בינאריות. [[חילופיות#היעדר תלות באסוציאטיביות|קיימות]] פעולות קומוטטיביות שאינן אסוציאטיביות, אסוציאטיביות שאינן קומוטטיביות, כאלו המקיימות את שתי התכונות, וכאלו שאינן מקיימות אף אחת מהן.
 
== ראו גם ==
 
* [[אלגברה לא אסוציאטיבית]]
 
[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:פעולות בינאריות|*1]]
 
[[en:Associative propertyoperation]]
[[ar:عملية تجميعية]]
[[bg:Асоциативност]]
[[bs:Asocijativnost]]
[[ca:Propietat associativa]]
[[cs:Asociativita]]
[[da:Associativitet]]
[[de:Assoziativgesetz]]
[[el:Προσεταιριστική ιδιότητα]]
[[eo:Asocieco]]
[[es:Asociatividad (álgebra)]]
[[fi:Liitännäisyys]]
[[fr:Associativité]]
[[hr:Asocijativnost]]
[[hu:Asszociativitás]]
[[is:Tengiregla]]
[[it:Associatività]]
[[ja:結合法則]]
[[kk:Ассоциативтік операция]]
[[ko:결합법칙]]
[[lv:Asociativitāte]]
[[ms:Kalis sekutuan]]
[[nl:Associativiteit (wiskunde)]]
[[nn:Assosiativitet]]
[[pl:Łączność (matematyka)]]
[[pt:Associatividade]]
[[ro:Asociativitate]]
[[ru:Ассоциативная операция]]
[[sh:Asocijativnost]]
[[simple:Associativity]]
[[sk:Asociatívna operácia]]
[[sl:Asociativnost]]
[[sr:Асоцијативност]]
[[sv:Associativitet]]
[[ta:சேர்ப்புப் பண்பு]]
[[th:สมบัติการเปลี่ยนหมู่]]
[[tr:Birleşme özelliği]]
[[uk:Асоціативність]]
[[ur:Associativity]]
[[vi:Kết hợp]]
[[zh:结合律]]