פעולה אסוציאטיבית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ אסוציאטיביות הועבר לפעולה אסוציאטיבית: שימור גרסאות |
הגרסה האחרונה |
||
שורה 1:
{{מפנה|אסוציאטיביות}}
#הפניה [[פעולה אסוציאטיבית]]▼
ב[[מתמטיקה]], '''פעולה אסוציאטיבית''' היא [[פעולה בינארית]] <math>\ (a,b) \mapsto a*b</math> המקיימת את '''חוק הקיבוץ''', כלומר, לכל <math>\ a,b,c</math> מתקיים <math>\ a*(b*c) = (a*b)*c</math>. פעולות ה[[חיבור]] וה[[כפל]] של [[מספר|מספרים]] הן דוגמאות חשובות לפעולות אסוציאטיביות. דוגמה כללית יותר היא פעולת ה[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] של [[פונקציה|פונקציות]] (ראו להלן), שבזכותה קיימות עוד פעולות אסוציאטיביות רבות, כמו [[כפל מטריצות]].
לפעולות אסוציאטיביות תפקיד מרכזי ב[[אלגברה מופשטת]] - מערכת הכוללת קבוצה עם פעולה אסוציאטיבית נקראת [[חבורה למחצה]], והנחות נוספות על הפעולה מוליכות להגדרה של [[מונויד]] ושל [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]]. בכל [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] הכפל הוא אסוציאטיבי; באלגברה נלמדות גם מערכות שבהן [[אלגברה לא אסוציאטיבית|הכפל אינו אסוציאטיבי]].
== הכללות ==
בדרך כלל המונח "פעולה אסוציאטיבית" מתייחס, כאמור, לפעולה בינארית, כלומר לפונקציה <math>\ A \times A \rightarrow A</math>. עם זאת למלה "פעולה" יש גם משמעות רחבה יותר, והיא עשויה לחול על כל פונקציה דו-מקומית <math>\ A\times B \rightarrow C</math>. במצב שבו מוגדרות פעולות <math>\ A \times B \rightarrow C</math>, <math>\ B \times C \rightarrow Y</math>, וכן <math>\ X \times C \rightarrow \Omega</math> ו-<math>\ A \times Y \rightarrow \Omega</math>, אומרים שהמערכת אסוציאטיבית (או שאחת הפעולות אסוציאטיבית ביחס לאחרות) אם ה[[דיאגרמה (אלגברה הומולוגית)|דיאגרמה]]
: <math>\ \begin{array}{ccc} A \times B \times C & \longrightarrow & A \times Y \\ \downarrow & & \downarrow \\ X \times C & \longrightarrow & \Omega \end{array}</math> [[דיאגרמה קומוטטיבית|קומוטטיבית]].
הרכבה של פונקציות היא אסוציאטיבית במובן הכללי הזה: לכל שלוש פונקציות <math>\ X \stackrel{f}{\rightarrow} Y \stackrel{g}{\rightarrow} Z \stackrel{h}{\rightarrow} U</math> מתקיים <math>\ (h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)</math>. גם פעולת הכפל בסקלר של [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] M מעל חוג R היא אסוציאטיבית במובן דומה: לכל <math>\ a,b \in R</math> ו-<math>\ v \in M</math> מתקיים <math>\ a(bx) = (ab)x</math>.
== הקשר לקומוטטיביות ==
אין קשר ישיר בין אסוציאטיביות ל[[פעולה קומוטטיבית|קומוטטיביות]]. יש פעולות אסוציאטיביות שהן קומוטטיביות (חיבור מספרים) או שאינן קומוטטיביות ([[כפל מטריצות]]), ויש פעולות לא אסוציאטיביות שהן קומוטטיביות (הכפל ב[[אלגברת לי]]; [[ערך מוחלט]] של [[הפרש]]) או שאינן קומוטטיביות ([[העלאה בחזקה]]).
== ראו גם ==
[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:פעולות בינאריות|*1]]
[[en:Associative operation]]
| |||