שדה המספרים הניתנים לבנייה – הבדלי גרסאות

לאחר שזיהינו את המישור עם [[שדה המספרים המרוכבים]], האוסף S של כל הנקודות שאפשר לקבל באמצעות תהליך סופי של העברת ישרים ומעגלים וחיתוכם מהווה כמובן תת-קבוצה של שדה המרוכבים. הדרך הקלה להוכיח שאוסף זה הוא שדה, כוללת שני שלבים: בראשון בודקים שאוסף המרחקים האפשריים בין נקודות ב- S סגור ל[[חיבור]] ו[[חיסור]], ל[[כפל]] ולפעולה <math>\ x \mapsto 1/x</math>. מזה נובע ש-S (כאוסף של מספרים מרוכבים) סגור לחיבור וחיסור. בשלב השני מראים שבמחוגה וסרגל אפשר לחבר [[זווית|זוויות]], וכך (על-פי [[נוסחאות דה-מואבר]]) מתברר ש-S סגור גם לכפל וחילוק.

 

 

כדי להראות ש[[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם]] אינן ניתנות לפתרון, נשאר לבדוק מהם הפולינומים המינימליים של המספרים שהן מבקשות מאיתנו לבנות: אי אפשר להכפיל את ה[[קובייה]], משום שהצלע המבוקשת, <math>\ \sqrt[3]{2}</math>, יוצרת שדה מממד 3. אי אפשר לבנות זווית של 20 מעלות, משום ש- <math>\ \cos(20^{\circ})</math> הוא שורש של הפולינום האי-פריק <math>\ 8x^3-6x-1</math> (את הזווית של 60 מעלות אפשר לבנות, ומכאן שלא ניתן לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים). אי אפשר לרבע את המעגל משום ש- <math>\ \sqrt{\pi}</math> [[מספר טרנסצנדנטי]] ולכן אינו ניתן לבנייה. אי אפשר לבנות [[משובע]] [[מצולע משוכלל|משוכלל]] משום שהשורש השביעי של היחידה הוא בעל פולינום מינימלי <math>\ x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1</math>, ו- 6 אינו חזקה של 2.